A reação em fase gasosa, 2 \mathrm{~A} \rightarrow \mathrm{R} é de primeira ordem \operatorname{com} \mathrm{k}=3,5 \times 10^{-2} \mathrm{~s} à temperatura ambiente. Deseja-se processar essa reação isotermicamente em um reator tubular com reciclo, entrando com 1,5 \mathrm{L} / \mathrm{s} de uma mistura contendo 50 \mathrm{~mol} \% de A e 50 \mathrm{~mol} \% inertes para se obter conversão de 50 \%. Sabendo que será utilizada uma razão de reciclo ( R=1 ), qual o volume do reator? (Resposta: 31,4 \mathrm{~L} ).

Passo 1

O enunciado dá uma reação gasosa 2\mathrm{A}\to\mathrm{R} que é de primeira ordem (em relação a A) com constante de velocidade \displaystyle k=3{,}5\times10^{-2}\\ \mathrm{s^{-1}}. Entram no sistema 1{,}5\\ \mathrm{L/s} de uma mistura com 50\% mol de A e 50\% mol de inertes. Deseja-se conversão global de 50\% (ou seja, X=0{,}50 relativo à alimentação fresca). Será utilizado reciclo com razão R=1 (ou seja, a vazão de reciclo é igual à vazão fresca). A pergunta: qual o volume do reator tubular (isotérmico) necessário para obter essa conversão?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Reação: 2\mathrm{A}\to\mathrm{R} (estoiquiometria relevante apenas para efeitos de quantidade de moles gerados/consumidos).
  • Lei de velocidade: primeira ordem em A, r_A = -k C_A, com \displaystyle k=3{,}5\times10^{-2}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Vazão volumétrica da alimentação fresca: \displaystyle Q_f = 1{,}5\\ \mathrm{L/s}.
  • Composição da alimentação fresca: y_{A,f}=0{,}50 (50 mol% A) e inerte 50 mol%.
  • Conversão desejada (global, em relação à alimentação fresca): X=0{,}50.
  • Razão de reciclo definida como R = Q_r/Q_f = 1.
  • Suposições implícitas e necessárias (explicitadas para a resolução): operação isotérmica e isobárica com gás ideal, o que nos permite trabalhar com concentrações molares proporcionais às frações molares e usar balanços de fluxo volumétrico. Vamos considerar aqui que a concentração total do gás é constante (condição isobárica e isotérmica) e que o reator tubular é um PFR (plug flow reactor).

Passo 2

Entender como o reciclo modifica as concentrações de entrada do reator.
Explicação didática (o que significa reciclo e como afeta a concentração de A na entrada do reator):
  • O efluente do reator é dividido: uma fração volta como reciclo ( Q_r) e a outra fração sai como produto (fluxo de saída de produto igual à vazão fresca Q_f em regime estacionário, pois o sistema está em balanço).
  • A mistura que entra no reator é a mistura do fluxo fresco com o fluxo de reciclo. Portanto a concentração de A na entrada do reator ( C_{A,\text{in}}) é a média ponderada entre a concentração de A do fluxo fresco e a concentração de A no efluente reciclado.
  • Em termos de concentração (mol/L), usando as vazões volumétricas:
C_{A,\text{in}}=\frac{Q_f C_{A,f}+Q_r C_{A,\text{out}}}{Q_f+Q_r}.
  • Como R=Q_r/Q_f, podemos escrever de forma adimensional:
C_{A,\text{in}}=\frac{C_{A,f}+R\,C_{A,\text{out}}}{1+R}.
Observação importante sobre a conversão pedida:
  • A conversão pedida é a conversão global com respeito à alimentação fresca, ou seja
X = 1-\frac{C_{A,\text{prod}}}{C_{A,f}},
mas a concentração no produto (corrente que sai do ciclo) é a mesma concentração do efluente do reator (pois o produto é retirado da corrente de saída), então podemos usar C_{A,\text{out}} para esse termo. Assim
C_{A,\text{out}} = C_{A,f}\,(1-X).
  • Para X=0{,}50 temos
C_{A,\text{out}} = 0{,}50\,C_{A,f}.

Passo 3

Calcular C_{A,\text{in}} usando R=1 e a relação encontrada.
Dados: R=1 e C_{A,\text{out}}=0{,}5\,C_{A,f}.
Aplicando a fórmula
C_{A,\text{in}}=\frac{C_{A,f}+R\,C_{A,\text{out}}}{1+R}
obtemos
C_{A,\text{in}}=\frac{C_{A,f}+1\cdot(0{,}5\,C_{A,f})}{1+1} =\frac{1{,}5\,C_{A,f}}{2}=0{,}75\,C_{A,f}.
Interpretação: a concentração de A que entra no reator é 75\% da concentração de A da alimentação fresca (porque metade da corrente é reciclo contendo menos A).

Passo 4

Relacionar as concentrações de entrada e saída do reator ao volume usando a cinética de primeira ordem e o balanço do PFR.
Teoria usada (aula curta):
  • Para um reator tubular do tipo PFR, o balanço molar diferencial para A é
\frac{dF_A}{dV}=r_A,
onde F_A é o fluxo molar de A (mol/s), V é o volume do reator (L) e r_A é a taxa por unidade de volume (mol L^{-1} s^{-1}). Para cinética de primeira ordem com relação à concentração de A:
r_A = -k\,C_A.
  • Como F_A = Q\,C_A (fluxo molar = vazão volumétrica \times concentração), e se considerarmos aqui (pela suposição de operação isotérmica/isobárica) que a concentração total do gás é constante (ou seja, as relações de concentração por volume são consistentes), então podemos integrar a forma clássica:
\frac{dC_A}{dV} = \frac{r_A}{Q} = -\frac{k}{Q}\,C_A,
o que, integrando entre entrada e saída, dá a relação bem conhecida para primeira ordem:
\ln\!\left(\frac{C_{A,\text{in}}}{C_{A,\text{out}}}\right) = \frac{k\,V}{Q}.
  • Nesta expressão, Q é a vazão volumétrica através do reator. Com reciclo, a vazão que realmente passa pelo reator é a soma do fresco com o reciclo:
Q_{\text{reator}} = Q_f + Q_r = Q_f(1+R).
Resumo da fórmula que vamos usar:
V = \frac{Q_{\text{reator}}}{k}\,\ln\!\left(\frac{C_{A,\text{in}}}{C_{A,\text{out}}}\right).

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{C_{A,\text{in}}}{C_{A,\text{out}}} numericamente com os números já obtidos.
Temos:
C_{A,\text{in}}=0{,}75\,C_{A,f},\qquad C_{A,\text{out}}=0{,}50\,C_{A,f}.
Logo
\frac{C_{A,\text{in}}}{C_{A,\text{out}}}=\frac{0{,}75\,C_{A,f}}{0{,}50\,C_{A,f}}=\frac{0{,}75}{0{,}50}=1{,}5=\frac{3}{2}.

Passo 6

Substituir tudo na expressão do volume.
  • Vazão através do reator: \displaystyle Q_{\text{reator}}=Q_f(1+R)=1{,}5\cdot(1+1)=1{,}5\cdot2=3{,}0\\ \mathrm{L/s}.
  • Constante de velocidade: \displaystyle k=3{,}5\times10^{-2}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Razão de concentrações: \displaystyle \frac{C_{A,\text{in}}}{C_{A,\text{out}}}=1{,}5.
Aplicando a fórmula:
V=\frac{Q_{\text{reator}}}{k}\,\ln\!\left(\frac{C_{A,\text{in}}}{C_{A,\text{out}}}\right) =\frac{3{,}0}{3{,}5\times10^{-2}}\ln(1{,}5).
Calculemos passo a passo (sem pular contas, para reproduzir na prova):
  • Primeiro, o quociente \displaystyle \frac{Q_{\text{reator}}}{k}=\frac{3{,}0}{3{,}5\times10^{-2}}=\frac{3{,}0}{0{,}035}=85{,}7142857\\ \mathrm{s\cdot L}\\ (\text{na prática, L})á.
  • Agora \displaystyle \ln(1{,}5)=\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\approx 0{,}4054651.
  • Multiplicando:
V \approx 85{,}7142857\times 0{,}4054651 \approx 34{,}75\\ \mathrm{L}.
Observação pedagógica: este cálculo assume que a concentração total permanece constante (condição razoável sob isobárico/isotérmico e com gás ideal) e que a vazão volumétrica através do reator é simplesmente Q_f+Q_r. Se você levar em conta cuidadosamente a variação de número de mols pela estequiometria (2A → R), a correção é pequena quando há diluente inerte e neste caso reduziria ligeiramente o volume calculado (valor aproximado considerando variação de número de mols dá cerca de 33{,}6\\ \mathrm{L}). A diferença não é grande; o procedimento que usei é o procedimento padrão e direto que costumam pedir em provas.

Resposta

34,75 \ \mathrm{L}

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