¿Cuál sería la altura de la atmósfera si la densidad del aire (a) fuese constante y si (b) decreciese linealmente hasta cero con la altura? Suponga una densidad al nivel del mat de 1.21 kg / m^3.

Passo 1

Resumimos el problema y la teoría necesaria. Queremos hallar la “altura equivalente” H tal que la presión al nivel del mar
P0=integral0^Hrho(z),g,dz
se mantenga constante. Aquí tomamos
rho0=1,21;kg/m^3 (densidad al nivel del mar),
P0=1,01325times10^5;Pa (presión atmosférica típica) y
g=9,8;m/s^2.

Passo 2

Caso (a): densidad constante rho(z)=rho0.
Entonces
P0=integral0^Hrho0,g,dz=rho0,g,H
y despejamos
H=P0rho0,g

Passo 3

Sustituimos valores en la fórmula de H:
H=1,01325times10^51,21times9,8;m approx1,01325times10^511,858;m approx8548;mapprox8,55;km

Passo 4

Caso (b): densidad decrece linealmente hasta cero a una altura HL, es decir
rho(z)=rho0l(1-zHLr), 0<= z<= HL
La presión es
P0=integral0^HLrho0l(1-zHLr)g,dz =rho0,gintegral0^HLl(1-zHLr)dz =rho0,g,HL2
Despejando HL obtenemos
HL=2P0rho0,g

Passo 5

Sustituimos numéricamente para HL:
HL=2times1,01325times10^51,21times9,8;m approx2times8548;m approx17096;mapprox17,1;km

Resposta

(a) Se a densidade fosse constante, a altura equivalente seria aproximadamente 8,55;km.
(b) Se a densidade decrescesse linearmente até zero, a altura equivalente seria aproximadamente 17,1;km.

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