Questão 3 - Derive a função geratriz de momentos de uma variável X com uma f.d.p a ser escolhidade dentre as seguintes>
X é um v.a. com distribuição exponencial com parâmetro \alpha

Passo 1

O enunciado pede a função geratriz de momentos (MGF) de X quando X tem distribuição exponencial com parâmetro \alpha. Para isso, vamos usar a definição
M_X(t)=\mathbb{E}\bigl[e^{tX}\bigr]
e fazer a integral de e^{t x} contra a densidade de probabilidade de X.

Passo 2

A densidade de X\sim\mathrm{Exp}(\alpha) é
f_X(x)=\alpha e^{-\alpha x},\quad x\ge0.
Logo, pela definição de esperança,
M_X(t)=\int_{0}^{\infty}e^{t x}\,f_X(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{t x}\,\alpha e^{-\alpha x}\,dx.

Passo 3

Dentro da integral, combine os expoentes:
e^{t x}\,e^{-\alpha x}=e^{-(\alpha - t)x}.
Portanto
M_X(t) =\alpha\int_{0}^{\infty}e^{-(\alpha - t)x}\,dx.

Passo 4

Para que a integral convirja, precisamos de \alpha - t>0 (isto é, t<\alpha). Nesse caso, usamos
\int_{0}^{\infty}e^{-(\alpha - t)x}\,dx =\frac{1}{\alpha - t}.
Logo
M_X(t) =\alpha\cdot\frac{1}{\alpha - t} =\frac{\alpha}{\alpha - t}.

Passo 5

Concluímos que a MGF existe somente para t<\alpha, garantindo convergência da integral.

Resposta

M_X(t)=\frac{\alpha}{\alpha - t},\quad t<\alpha.

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