Questão 3 - Derive a função geratriz de momentos de uma variável X com uma f.d.p a ser escolhidade dentre as seguintes>
X é um v.a. com distribuição exponencial com parâmetro
X é um v.a. com distribuição exponencial com parâmetro
Passo 1
O enunciado pede a função geratriz de momentos (MGF) de
quando
tem distribuição exponencial com parâmetro
. Para isso, vamos usar a definição
e fazer a integral de
contra a densidade de probabilidade de
.
Passo 2
A densidade de
é
Logo, pela definição de esperança,
Passo 3
Dentro da integral, combine os expoentes:
Portanto
Passo 4
Para que a integral convirja, precisamos de
(isto é,
). Nesse caso, usamos
Logo
Passo 5
Concluímos que a MGF existe somente para
, garantindo convergência da integral.