Um cubo de alumínio ( rho=2,70 times 10^3 kg / m^3) de massa 1,00 times 10^3 kg é colocado em um tanque. Adiciona-se água ( rho=1,00 times 10^3 kg / m^3 ) no tanque até que metade do cubo fique submerso.
(b) Em seguida, uma quantidade de mercúrio ( rho=13,6 times 10^3 kg / m^3 ) é lentamente escoada para o tanque e se deposita no fundo dele. Qual a profundidade da camada de mercúrio depositada para que a força normal no cubo se anule?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Você tem um cubo de alumínio com densidade rho = 2,70 times 10^3 , kg/m^3 e massa de 1,00 times 10^3 , kg colocado em um tanque. A gente adiciona água, que tem densidade rho = 1,00 times 10^3 , kg/m^3, até que metade do cubo fique submerso. Depois, vai sendo adicionada mercúrio, com densidade rho = 13,6 times 10^3 , kg/m^3, que se deposita no fundo do tanque. A pergunta é: qual a profundidade dessa camada de mercúrio para que a força normal no cubo se anule?
Vamos usar conceitos de empuxo e equilíbrio de forças. Precisamos calcular quanto de mercúrio precisa ser adicionado para que o empuxo total seja igual ao peso do cubo, fazendo com que a força normal seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do cubo. Sabemos que a massa ( m) é 1,00 times 10^3 , kg e a densidade ( rho) é 2,70 times 10^3 , kg/m^3. A fórmula da densidade é:
rho = mV
Rearranjando para encontrar o volume ( V):
V = mrho = 1,00 times 10^3 , kg2,70 times 10^3 , kg/m^3 approx 0,370 , m^3

Passo 3

Agora, sabemos que metade do cubo está submerso na água inicialmente. O volume submerso na água ( Váguaá) é:
Vágua = V2 = 0,370 , m^32 = 0,185 , m^3 á
O empuxo devido à água ( Fáguaá) pode ser calculado usando a fórmula:
Fágua = rhoágua times g times Vágua ááá
Onde g é a aceleração da gravidade ( approx 9,81 , m/s^2). Então:
Fágua = 1,00 times 10^3 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 times 0,185 , m^3 approx 1,814 times 10^3 , N á

Passo 4

O peso do cubo ( P) é dado por:
P = m times g = 1,00 times 10^3 , kg times 9,81 , m/s^2 = 9,81 times 10^3 , N
Para que a força normal ( N) no cubo se anule, o empuxo total ( Ftotal) deve igualar o peso do cubo:
Ftotal = P
O empuxo total é a soma do empuxo da água e do empuxo do mercúrio:
Ftotal = Fágua + Fmercúrio = P áú
Portanto:
Fmercúrio = P - Fágua = 9,81 times 10^3 , N - 1,814 times 10^3 , N = 7,996 times 10^3 , N úá

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume de mercúrio necessário para gerar esse empuxo. Usamos a fórmula do empuxo para o mercúrio:
Fmercúrio = rhomercúrio times g times Vmercúrio úúú
Rearranjando para encontrar Vmercúrioú:
Vmercúrio = Fmercúriorhomercúrio times g = 7,996 times 10^3 , N13,6 times 10^3 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 approx 0,0605 , m^3 úúú

Passo 6

Finalmente, para encontrar a profundidade ( h) da camada de mercúrio depositada no fundo do tanque, precisamos relacionar o volume de mercúrio com a área da base do tanque. Supondo que a área da base do tanque seja a mesma que a área da base do cubo, primeiro calculamos a aresta do cubo ( a):
V = a^3 Rightarrow a = raiz[3]V = raiz[3]0,370 , m^3 approx 0,72 , m
A área da base ( A) é:
A = a^2 = (0,72 , m)^2 approx 0,518 , m^2
Então, a profundidade da mercúrio é:
h = VmercúrioA = 0,0605 , m^30,518 , m^2 approx 0,117 , m ou 11,7 , cm ú

Resposta

A profundidade da camada de mercúrio depositada para que a força normal no cubo se anule é aproximadamente 11,7 , cm.

Exercícios relacionados