Um cubo de aresta a=3 cm tem uma carga q=2 mu C em cada uma de suas vértices. Calcule a magnitude da força elétrica resultante em qualquer uma de suas vértices. k=9.10^9 N cdot m^2 / C^2.
a) 131,2 N
b) 131,4 N
c) 131,6 N
d) 131,8 N
e) 132,0 N

Passo 1

O enunciado dá um cubo de aresta a=3 cm=0,03 m e carga q=2muC=2times10^-6 C em cada vértice. Queremos a força resultante em um vértice devido às outras sete cargas. Vamos usar a Lei de Coulomb e somar vetorialmente as contribuições, agrupando-as por distância: aresta ( a), diagonal de face ( araiz2) e diagonal de corpo ( araiz3).

Passo 2

Colocamos o vértice em questão na origem e os eixos ao longo das arestas. As sete cargas restantes ficam em
(a,0,0),,(0,a,0),,(0,0,a),;(a,a,0),,(a,0,a),,(0,a,a),;(a,a,a)
Pela Lei de Coulomb, a contribuição de cada carga é
Fi = kq^2ri^2 ri = k,q^2, riri^3,
logo a força total é
F = k,q^2sumi=1^7 riri^3

Passo 3

Contribuições das três cargas a distância r=a (arestas):
r1+ r2+ r3 =(a,0,0)+(0,a,0)+(0,0,a)=a,(1,1,1)
Cada uma dá 1/r^3=1/a^3, então o somatório dá
Frm arestas = k,q^2,a(1,1,1)a^3 = k,q^2a^2,(1,1,1)

Passo 4

Contribuições das três cargas a distância r=araiz2 (diagonais de face):
r4+ r5+ r6 =(a,a,0)+(a,0,a)+(0,a,a)=2a,(1,1,1),
com 1/r^3=1/(2raiz2,a^3). Então
Frm face = k,q^2,2a(1,1,1)2raiz2,a^3 = k,q^2raiz2,a^2,(1,1,1)
A carga oposta fica em (a,a,a), r=araiz3, e
Frm corpo = k,q^2,a(1,1,1)(araiz3)^3 = k,q^23raiz3,a^2,(1,1,1)

Passo 5

Somando todas as partes, todas colineares a (1,1,1):
F = k,q^2a^2l(1+tfrac1raiz2+tfrac13raiz3r),(1,1,1)
A magnitude é
F = k,q^2a^2,raiz3, l(1+tfrac1raiz2+tfrac13raiz3r)

Passo 6

Substituindo k=9times10^9, q=2times10^-6, a=0,03:
kq^2a^2 =9times10^9(2times10^-6)^2(0,03)^2 =40 N,
raiz3l(1+tfrac1raiz2+tfrac13raiz3r)approx3,28987,
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Fapprox40times3,28987approx131,6 N

Resposta

c) 131,6 N

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