Um cubo de aresta
tem uma carga puntiforme
colocada em cada vértice. Mostre que módulo da força resultante sobre cada carga é:
Passo 1
O enunciado dá: um cubo de aresta
tem uma carga puntiforme
colocada em cada um dos oito vértices. Pede-se o módulo da força resultante sobre cada carga (ou seja, sobre uma carga qualquer, todas são equivalentes).
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A aresta do cubo vale
. - Em cada vértice há uma carga
(mesmo sinal). - A força elétrica entre cargas puntuais é dada pela lei de Coulomb e as forças se somam vetorialmente (princípio da superposição).
- Devido à simetria do cubo, basta calcular a força sobre a carga em um vértice escolhendo um sistema de coordenadas conveniente.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a lei de Coulomb na forma vetorial (essa é a ferramenta principal). Para duas cargas puntuais
e
separadas pelo vetor
que vai da carga sobre a qual queremos a força até a outra carga, a força elétrica exercida pela carga
sobre
é
onde:
-
é a constante eletrostática no vácuo, ; -
é a distância entre as cargas; -
é o versor na direção de .
Escrevendo em forma conveniente para soma vetorial, essa expressão pode ser posta como
O princípio da superposição diz que a força total sobre uma carga é a soma vetorial das forças de todas as demais cargas.
Passo 3
Escolho o vértice onde quero calcular a força como a carga em
(origem) e tomo as arestas do cubo alinhadas aos eixos
positivos; assim os outros sete vértices têm coordenadas (em unidades de comprimento)
Esses são os vetores posição
das cargas vizinhas medidos a partir da carga na origem (ou seja, vetor da carga na origem para cada outra carga).
Passo 4
A força exercida por uma carga
localizada em
sobre a carga na origem é, pela fórmula do passo 2,
Observe que a direção é a mesma de
(afastando a carga na origem, já que sinais iguais se repelem). Portanto a força total é
Passo 5
Vamos calcular componente a componente. Pelo arranjo, várias contribuições têm coordenadas zero; para a componente
só contribuem as cargas que têm coordenada
. Essas são os vértices
,
,
e
. Para cada um calculemos
-componente de
.
- Vértice
: distância . Então
- Vértices
e : distância . Para cada um,
Como há dois desses vértices, a contribuição combinada é
vezes isso.
- Vértice
: distância . Então
As outras três cargas (em
) têm
e portanto não contribuem para
.
Passo 6
Somando as contribuições para
obtemos
Simplificando o termo do meio,
Aqui explique o que cada símbolo significa:
,
é a aresta do cubo,
é a carga em cada vértice. O fator entre parênteses é um número adimensional que vem da soma das razões geométricas das distâncias.
Passo 7
Por simetria do cubo as componentes
e
são iguais a
(a carga na origem vê a mesma distribuição de cargas ao longo de
e
). Portanto o vetor força resultante tem componentes iguais, e aponta ao longo da diagonal do cubo no sentido
. O módulo da força é
Substituindo
,
Passo 8
Agora colocamos
e avaliamos numericamente o fator adimensional. Primeiro calculemos o parêntese:
Multiplicando por
dá
Agora
. Portanto o coeficiente numérico total fica
Isso nos dá finalmente
Passo 9
Resumo do raciocínio para usar na prova: coloque a carga analisada na origem, escreva as posições dos outros vértices, aplique Coulomb em forma vetorial
, some componentes usando simetria para reduzir o número de termos, reconheça que o vetor resultante aponta na diagonal e calcule o módulo como
. Faça a avaliação numérica do fator adimensional para obter o número dado.