Um cubo de aresta a tem uma carga puntiforme q colocada em cada vértice. Mostre que módulo da força resultante sobre cada carga é:
F=\frac{0,261}{\epsilon_{0}} \frac{q^{2}}{a^{2}} .

Passo 1

O enunciado dá: um cubo de aresta a tem uma carga puntiforme q colocada em cada um dos oito vértices. Pede-se o módulo da força resultante sobre cada carga (ou seja, sobre uma carga qualquer, todas são equivalentes).
Informações relevantes:
  • A aresta do cubo vale a.
  • Em cada vértice há uma carga q (mesmo sinal).
  • A força elétrica entre cargas puntuais é dada pela lei de Coulomb e as forças se somam vetorialmente (princípio da superposição).
  • Devido à simetria do cubo, basta calcular a força sobre a carga em um vértice escolhendo um sistema de coordenadas conveniente.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a lei de Coulomb na forma vetorial (essa é a ferramenta principal). Para duas cargas puntuais q e q' separadas pelo vetor \mathbf{r} que vai da carga sobre a qual queremos a força até a outra carga, a força elétrica exercida pela carga q' sobre q é
\mathbf{F} = k\,\frac{q\,q'}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},
onde:
  • k é a constante eletrostática no vácuo, k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}};
  • r=|\mathbf{r}| é a distância entre as cargas;
  • \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}}{r} é o versor na direção de \mathbf{r}.
    Escrevendo em forma conveniente para soma vetorial, essa expressão pode ser posta como
\mathbf{F} = k\,q\,q'\,\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}.
O princípio da superposição diz que a força total sobre uma carga é a soma vetorial das forças de todas as demais cargas.

Passo 3

Escolho o vértice onde quero calcular a força como a carga em (0,0,0) (origem) e tomo as arestas do cubo alinhadas aos eixos x,y,z positivos; assim os outros sete vértices têm coordenadas (em unidades de comprimento)
(a,0,0),\quad (0,a,0),\quad (0,0,a),\quad (a,a,0),\quad (a,0,a),\quad (0,a,a),\quad (a,a,a).
Esses são os vetores posição \mathbf{r}_i das cargas vizinhas medidos a partir da carga na origem (ou seja, vetor da carga na origem para cada outra carga).

Passo 4

A força exercida por uma carga q localizada em \mathbf{r}_i sobre a carga na origem é, pela fórmula do passo 2,
\mathbf{F}_i = k\,\frac{q^{2}}{|\mathbf{r}_i|^{3}}\;\mathbf{r}_i.
Observe que a direção é a mesma de \mathbf{r}_i (afastando a carga na origem, já que sinais iguais se repelem). Portanto a força total é
\mathbf{F}=\sum_{i=1}^{7}\mathbf{F}_i = k\,q^{2}\sum_{i=1}^{7}\frac{\mathbf{r}_i}{|\mathbf{r}_i|^{3}}.

Passo 5

Vamos calcular componente a componente. Pelo arranjo, várias contribuições têm coordenadas zero; para a componente x só contribuem as cargas que têm coordenada x=a. Essas são os vértices (a,0,0), (a,a,0), (a,0,a) e (a,a,a). Para cada um calculemos x-componente de \mathbf{F}_i.
  1. Vértice (a,0,0): distância r=a. Então
F_{x}^{(1)} = k\,\frac{q^{2}}{a^{3}}\cdot a = k\,\frac{q^{2}}{a^{2}}.
  1. Vértices (a,a,0) e (a,0,a): distância r=\sqrt{2}\,a. Para cada um,
F_{x}^{(2)} = k\,\frac{q^{2}}{(\sqrt{2}\,a)^{3}}\cdot a = k\,\frac{q^{2}}{2\sqrt{2}\,a^{2}}.
Como há dois desses vértices, a contribuição combinada é 2 vezes isso.
  1. Vértice (a,a,a): distância r=\sqrt{3}\,a. Então
F_{x}^{(3)} = k\,\frac{q^{2}}{(\sqrt{3}\,a)^{3}}\cdot a = k\,\frac{q^{2}}{3\sqrt{3}\,a^{2}}.
As outras três cargas (em (0,a,0),(0,0,a),(0,a,a)) têm x=0 e portanto não contribuem para F_x.

Passo 6

Somando as contribuições para F_x obtemos
F_x = k\,\frac{q^{2}}{a^{2}}\left(1 + 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{3}}\right).
Simplificando o termo do meio,
F_x = k\,\frac{q^{2}}{a^{2}}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{3}}\right).
Aqui explique o que cada símbolo significa: k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}, a é a aresta do cubo, q é a carga em cada vértice. O fator entre parênteses é um número adimensional que vem da soma das razões geométricas das distâncias.

Passo 7

Por simetria do cubo as componentes F_y e F_z são iguais a F_x (a carga na origem vê a mesma distribuição de cargas ao longo de y e z). Portanto o vetor força resultante tem componentes iguais, e aponta ao longo da diagonal do cubo no sentido (1,1,1). O módulo da força é
F = \sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}}=\sqrt{3}\,F_x.
Substituindo F_x,
F = \sqrt{3}\;k\;\frac{q^{2}}{a^{2}}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{3}}\right).

Passo 8

Agora colocamos k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} e avaliamos numericamente o fator adimensional. Primeiro calculemos o parêntese:
1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} \approx 1 + 0,70710678 + 0,19245009 = 1,89955687.
Multiplicando por \sqrt{3}\approx 1,7320508
\sqrt{3}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{3}}\right) \approx 3,289868.
Agora k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\approx \dfrac{1}{12{,}5663706\,\epsilon_{0}}\approx \dfrac{0,07957747}{\epsilon_{0}}. Portanto o coeficiente numérico total fica
\frac{0,07957747}{\epsilon_{0}}\times 3,289868 \approx \frac{0,261}{\epsilon_{0}}.
Isso nos dá finalmente
F \approx \frac{0,261}{\epsilon_{0}}\;\frac{q^{2}}{a^{2}}.

Passo 9

Resumo do raciocínio para usar na prova: coloque a carga analisada na origem, escreva as posições dos outros vértices, aplique Coulomb em forma vetorial \mathbf{F}_i=kq^{2}\mathbf{r}_i/|\mathbf{r}_i|^{3}, some componentes usando simetria para reduzir o número de termos, reconheça que o vetor resultante aponta na diagonal e calcule o módulo como \sqrt{3}F_x. Faça a avaliação numérica do fator adimensional para obter o número dado.

Resposta

F=\frac{0,261}{\epsilon_{0}}\;\frac{q^{2}}{a^{2}}.

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