|Exercício 3> Sendo a massa atômica do nitrogênio igual a 14, qual é a velocidade térmica de uma molécula de nitrogênio no ar a uma temperatura de 300 K ?

Passo 1

  • O que o enunciado dá: a massa atômica do nitrogênio é 14 (unidades de massa atômica) e a temperatura é 300\\ \text{K}.
  • O que se pede: a velocidade térmica de uma molécula de nitrogênio no ar a 300\\ \text{K}.
  • Observação importante (assunção necessária): no ar o nitrogênio aparece principalmente como molécula diatômica \mathrm{N_2}. Como o enunciado deu a massa atômica 14, a massa de uma molécula de \mathrm{N_2} será 2\times14=28 unidades de massa atômica. Esta conversão de átomo \to molécula é necessária para obter a massa da molécula que entra na fórmula da velocidade térmica.

Passo 2

  • Escolha da definição de “velocidade térmica”: existem várias quantidades usadas na teoria cinética para medir velocidades típicas de moléculas:
    • velocidade quadrática média (root-mean-square): \,v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3k_B T}{m}}\,;
    • velocidade média (valor médio de |v|): \,\bar v=\sqrt{\dfrac{8k_B T}{\pi m}}\,;
    • velocidade mais provável: \,v_p=\sqrt{\dfrac{2k_B T}{m}}\,.
  • Vou calcular a velocidade quadrática média \,v_{\mathrm{rms}}\, porque é a definição mais comum de “velocidade térmica” em problemas básicos de termodinâmica/teoria cinética e é diretamente relacionada à energia cinética média por partícula. Se quiser depois eu calculo \bar v ou v_p, é só pedir.

Passo 3

  • Fórmula que vou usar:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3k_B T}{m}}
onde:
  • v_{\mathrm{rms}} é a velocidade quadrática média (m/s),
  • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}),
  • T é a temperatura absoluta (em K),
  • m é a massa da molécula (em kg).
  • Vou obter m convertendo a massa molecular dada em unidades de massa atômica para quilogramas usando 1\\ \mathrm{u}=1,660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

  • Calcular a massa da molécula \mathrm{N_2} em kg:
m = 28\\ \mathrm{u} = 28 \times (1,660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg})
m = 28\times1,660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} = 4,6495092\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}
(Arredondando convenientemente para os algarismos significativos:)
m \approx 4,65\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

  • Calcular o numerador 3k_B T:
k_B T = (1,380649\times10^{-23})\times300 = 4,141947\times10^{-21}\\ \mathrm{J}
3k_B T = 3\times4,141947\times10^{-21} = 1,2425841\times10^{-20}\\ \mathrm{J}
  • Calcular a razão \dfrac{3k_B T}{m}:
\frac{3k_B T}{m} = \frac{1,2425841\times10^{-20}}{4,6495092\times10^{-26}} = 2,6729\times10^{5}\\ \mathrm{(m^2/s^2)}
(veja o tratamento das potências de dez: -20 -(-26)=6, por isso o expoente 10^{5} aparece depois da divisão dos coeficientes.)
  • Agora a raiz quadrada para obter v_{\mathrm{rms}}:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{2,6729\times10^{5}}=\sqrt{2,6729}\times\sqrt{10^{5}} \approx 1,635\times316,227\approx 517,3\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
v_{\mathrm{rms}}\approx 517\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

  • Interpretação rápida e motivação prática: essa velocidade quer dizer que, por causa da energia térmica a 300\\ \text{K}, uma molécula típica de \mathrm{N_2} tem velocidade de ordem de algumas centenas de metros por segundo (aqui \approx517\\ \mathrm{m/s}). Para comparação: a velocidade do som no ar a temperatura ambiente é da ordem de 340\\ \mathrm{m/s}, então as moléculas movem-se tipicamente mais rápido do que a propagação do som como ondas macroscópicas.
  • Se preferir, posso também calcular a velocidade média \bar v ou a velocidade mais provável v_p usando as fórmulas dadas no Passo 2.

Resposta

v_{\mathrm{rms}}\approx517\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados