|Exercício 7> Com base no estudado para o OHS, usando a Distribuição de Boltzmann determine a média da energia <E> no caso notável de um sistema de partículas livres, no qual a energia de cada uma destas partículas é dada pela expressão (1):
E=\frac{1}{2} m v_{x}^{2}+\frac{1}{2} m v_{y}^{2}+\frac{1}{2} m v_{z}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a média da energia \langle E \rangle de uma partícula livre cuja energia cinética é
E=\tfrac{1}{2} m v_{x}^{2}+\tfrac{1}{2} m v_{y}^{2}+\tfrac{1}{2} m v_{z}^{2}.
Informações e condições que temos (todas relevantes para a resolução):
  • A distribuição estatística a usar é a Distribuição de Boltzmann (sistema em contato com reservatório térmico à temperatura T).
  • As velocidades v_x,v_y,v_z são variáveis contínuas que variam em (-\infty,\infty).
  • A constante de Boltzmann é k_B.
  • O que se quer: calcular a média (valor esperado) da energia de uma partícula, isto é \langle E\rangle, usando a densidade de probabilidade proporcional a \exp(-E/(k_B T)).

Passo 2

Escrever a densidade de probabilidade e a expressão para a média. Para um conjunto contínuo de variáveis (aqui o espaço de velocidades), a probabilidade (não normalizada) de uma configuração com energia E é \exp(-E/(k_B T)). Definimos a função de distribuição normalizada no espaço de velocidades por
f(v_x,v_y,v_z)=\frac{1}{Z}\exp\!\left(-\frac{E}{k_B T}\right),
onde Z é a função de partição (constante de normalização)
Z=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\!\left(-\frac{E}{k_B T}\right)\,dv_x\,dv_y\,dv_z.
A média da energia é definida por
\langle E\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} E\, f(v_x,v_y,v_z)\,dv_x\,dv_y\,dv_z.
Explicando variáveis: m é a massa da partícula, T a temperatura absoluta, k_B a constante de Boltzmann, e E dada acima.

Passo 3

Usar separabilidade para calcular Z. Como E é soma de termos que dependem cada um só de v_x, v_y ou v_z, a integral separa:
Z = \left(\int_{-\infty}^{\infty}\exp\!\left(-\frac{1}{2}\frac{m v_x^2}{k_B T}\right)\,dv_x\right)^3.
Agora usamos a integral gaussiana padrão: para a>0,
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}.
Aqui tome a=\dfrac{m}{2k_B T}. Assim cada integral unidimensional vale
\int_{-\infty}^{\infty}\exp\!\left(-\frac{1}{2}\frac{m v_x^2}{k_B T}\right)\,dv_x = \sqrt{\frac{2\pi k_B T}{m}}.
Portanto
Z = \left(\sqrt{\frac{2\pi k_B T}{m}}\right)^3 = \left(\frac{2\pi k_B T}{m}\right)^{3/2}.

Passo 4

Expressar \langle E\rangle como soma de médias unidimensionais. Pela linearidade da esperança,
\langle E\rangle = \tfrac{1}{2}m\big(\langle v_x^2\rangle+\langle v_y^2\rangle+\langle v_z^2\rangle\big).
Por simetria cada componente tem a mesma média, então basta calcular \langle v_x^2\rangle. Pela definição,
\langle v_x^2\rangle = \frac{1}{Z_1}\int_{-\infty}^{\infty} v_x^2 \exp\!\left(-\frac{1}{2}\frac{m v_x^2}{k_B T}\right)\,dv_x,
onde Z_1=\sqrt{\dfrac{2\pi k_B T}{m}} é a parte unidimensional da normalização.
Para avaliar a integral usamos outra identidade gaussiana: para a>0,
\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-a x^2}\,dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a^{3}}}.
Aplicando com a=\dfrac{m}{2k_B T}, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty} v_x^2 \exp\!\left(-\frac{1}{2}\frac{m v_x^2}{k_B T}\right)\,dv_x = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left(\frac{2k_B T}{m}\right)^{3/2}.
Dividindo pelo Z_1=\sqrt{2\pi k_B T/m} temos
\langle v_x^2\rangle = \frac{\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\left(\dfrac{2k_B T}{m}\right)^{3/2}}{\sqrt{\dfrac{2\pi k_B T}{m}}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2k_B T}{m} = \frac{k_B T}{m}.
(Se quiser verificar passo a passo da simplificação: as raízes se cancelam apropriadas e sobra 1/(2a) com a=m/(2k_B T), que dá k_B T/m.)

Passo 5

Calcular \langle E\rangle final usando o resultado anterior. Cada termo \tfrac{1}{2}m\langle v_i^2\rangle vale
\tfrac{1}{2}m\cdot\frac{k_B T}{m} = \tfrac{1}{2}k_B T.
Somando as três componentes:
\langle E\rangle = 3\cdot \tfrac{1}{2}k_B T = \tfrac{3}{2}k_B T.
Interpretação física curta: cada grau quadrático de liberdade dá contribuição \tfrac{1}{2}k_B T para a energia média (princípio da equipartição), aqui temos três graus de liberdade de translação.

Resposta

\displaystyle \langle E\rangle = \tfrac{3}{2}\,k_B T

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