|Exercício
Com base no estudado para o OHS, usando a Distribuição de Boltzmann determine a média da energia
no caso notável de um sistema de partículas livres, no qual a energia de cada uma destas partículas é dada pela expressão (1):
Passo 1
O enunciado pede para determinar a média da energia
de uma partícula livre cuja energia cinética é
Informações e condições que temos (todas relevantes para a resolução):
- A distribuição estatística a usar é a Distribuição de Boltzmann (sistema em contato com reservatório térmico à temperatura
). - As velocidades
são variáveis contínuas que variam em . - A constante de Boltzmann é
. - O que se quer: calcular a média (valor esperado) da energia de uma partícula, isto é
, usando a densidade de probabilidade proporcional a .
Passo 2
Escrever a densidade de probabilidade e a expressão para a média. Para um conjunto contínuo de variáveis (aqui o espaço de velocidades), a probabilidade (não normalizada) de uma configuração com energia
é
. Definimos a função de distribuição normalizada no espaço de velocidades por
onde
é a função de partição (constante de normalização)
A média da energia é definida por
Explicando variáveis:
é a massa da partícula,
a temperatura absoluta,
a constante de Boltzmann, e
dada acima.
Passo 3
Usar separabilidade para calcular
. Como
é soma de termos que dependem cada um só de
,
ou
, a integral separa:
Agora usamos a integral gaussiana padrão: para
,
Aqui tome
. Assim cada integral unidimensional vale
Portanto
Passo 4
Expressar
como soma de médias unidimensionais. Pela linearidade da esperança,
Por simetria cada componente tem a mesma média, então basta calcular
. Pela definição,
onde
é a parte unidimensional da normalização.
Para avaliar a integral usamos outra identidade gaussiana: para
,
Aplicando com
, obtemos
Dividindo pelo
temos
(Se quiser verificar passo a passo da simplificação: as raízes se cancelam apropriadas e sobra
com
, que dá
.)
Passo 5
Calcular
final usando o resultado anterior. Cada termo
vale
Somando as três componentes:
Interpretação física curta: cada grau quadrático de liberdade dá contribuição
para a energia média (princípio da equipartição), aqui temos três graus de liberdade de translação.