Determine o módulo da indução magnética produzida por uma espira quadrada de lado a nos pontos do eixo de simetria ortogonal ao plano da espira.

Passo 1

Temos uma espira quadrada de lado a, seguida pela corrente I, situada no plano xy e centrada na origem. Queremos o módulo do campo magnético \mathbf{B} no ponto P de coordenadas (0,0,z), ou seja, no eixo z perpendicular ao plano da espira. Para isso, usaremos a Lei de Biot–Savart e a simetria dos quatro lados da espira.

Passo 2

Escolhemos um dos lados, o que se estende de x=-\tfrac{a}{2} a x=+\tfrac{a}{2} na reta y=+\tfrac{a}{2},\,z=0.
Parametrizamos esse segmento por \mathbf{r}'(x)=(x,\tfrac{a}{2},0), com x\in[-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}], e \mathrm{d}\boldsymbol\ell = \mathrm{d}x\,\hat{\mathbf{x}}.
O vetor de campo de Biot–Savart é
\mathrm{d}\mathbf{B} = \frac{\mu_{0}I}{4\pi}\;\frac{\mathrm{d}\boldsymbol\ell\times\bigl(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\bigr)}{\|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\|^{3}},
onde \mathbf{r}=(0,0,z) e \mathbf{r}-\mathbf{r}'=(-x,-\tfrac{a}{2},z).
Calcula-se
\mathrm{d}\boldsymbol\ell\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}') = \mathrm{d}x\,\hat{\mathbf{x}}\times\bigl(-x\,\hat{\mathbf{x}}-\tfrac{a}{2}\,\hat{\mathbf{y}}+z\,\hat{\mathbf{z}}\bigr) = -\frac{a}{2}\,\mathrm{d}x\,\hat{\mathbf{z}}+\dots
sendo o “ \dots” componente perpendicular ao eixo z que, pela simetria da espira inteira, se anulará. Assim, a componente axial de um lado vale
\mathrm{d}B_{z} = \frac{\mu_{0}I}{4\pi}\;\frac{\frac{a}{2}\,\mathrm{d}x}{\bigl(x^{2}+(\tfrac{a}{2})^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

Definindo R^{2}=x^{2}+(\tfrac{a}{2})^{2}+z^{2}, integramos de -\tfrac{a}{2} a +\tfrac{a}{2}:
B_{z}^{(\text{um lado})} = \frac{\mu_{0}I\,a}{8\pi} \int_{-\tfrac{a}{2}}^{+\tfrac{a}{2}} \frac{\mathrm{d}x}{\bigl(x^{2}+(\tfrac{a}{2})^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.
Usa-se a integral padrão
\int_{-L}^{L}\frac{\mathrm{d}x}{(x^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}} = \frac{2L}{R_{0}^{2}\sqrt{L^{2}+R_{0}^{2}}},
com L=\tfrac{a}{2} e R_{0}^{2}=(\tfrac{a}{2})^{2}+z^{2}. Logo
B_{z}^{(\text{um lado})} = \frac{\mu_{0}I\,a}{8\pi}\;\frac{2\,(a/2)}{\bigl((\tfrac{a}{2})^{2}+z^{2}\bigr)\sqrt{(\tfrac{a}{2})^{2}+z^{2}+(\tfrac{a}{2})^{2}}} = \frac{\mu_{0}I\,a^{2}}{8\pi\,(a^{2}/4+z^{2})\sqrt{a^{2}/2+z^{2}}}\,.

Passo 4

Como a espira tem quatro lados iguais, a componente axial total é quatro vezes a de um lado:
B_{z}(z) =4\,B_{z}^{(\text{um lado})} = \frac{\mu_{0}I\,a^{2}}{2\pi\,(a^{2}/4+z^{2})\sqrt{a^{2}/2+z^{2}}}.

Resposta

B(z) = \frac{\mu_{0}\,I\,a^{2}}{2\pi\,(a^{2}/4+z^{2})\sqrt{a^{2}/2+z^{2}}}.

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