1. Um cubo de gelo de 8,00 \mathrm{~g} está a -10,0^{\circ} \mathrm{C} e é lançado em uma garrafa térmica que contém 100 \mathrm{~cm}^{3} de água a 20,0^{\circ} \mathrm{C}. Qual a variação de entropia do sistema, ao ser alcançado o estado final de equilíbrio? O calor específico do gelo é 0,50 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia do sistema quando o equilíbrio térmico é alcançado, dado que:
  • Uma cubo de gelo tem massa m_i = 8{,}00\\ \mathrm{g} e temperatura inicial T_{i,\text{gelo}} = -10{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • A garrafa térmica contém 100\\ \mathrm{cm}^3 de água líquida a T_{i,\text{água}} = 20{,}0^\circ\mathrm{C}á.
  • O calor específico do gelo é c_{\text{gelo}} = 0{,}50\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
O que falta no enunciado (valores tabelados que usarei como padrão):
  • Densidade da água: 1{,}00\\ \mathrm{g/cm}^3 (logo a massa da água é m_w = 100\\ \mathrm{g}).
  • Calor específico da água líquida: c_{\text{água}} = 1{,}00\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}á.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f = 80{,}0\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
Pergunta explícita que vou responder: calcular \Delta S_{\text{sistema}} (variação total de entropia do gelo + água) quando o sistema atingir a temperatura final de equilíbrio T_f.

Passo 2

Plano e fórmulas que vou usar (sem ainda calcular):
  • Conservação de energia (sistema isolado pela garrafa térmica): soma dos calores trocados é zero.
  • Para processos sem mudança de fase e reversíveis: \Delta S = m c \ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right), com temperaturas em kelvin.
  • Para fusão (processo isotérmico reversible a 0^\circ\mathrm{C}): \Delta S_{\text{fusão}} = \dfrac{Q_{\text{fusão}}}{T_{\text{fus}}} = \dfrac{m_i L_f}{T_{\text{fus}}}ãã, com T_{\text{fus}} = 273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Conversão de temperaturas: T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
Vou primeiro determinar T_f usando conservação de energia e depois calcular as variações de entropia de cada parte e somar.

Passo 3

Determinar a temperatura final T_f pela conservação de energia (todas as quantidades em calorias e ^\circ\mathrm{C} para diferenças de temperatura).
Calores envolvidos (sinal positivo = ganho de calor):
  • Aquecer o gelo de -10{,}0^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}: Q_1 = m_i\, c_{\text{gelo}}\, (0 - (-10{,}0)) = 8{,}00 \times 0{,}50 \times 10{,}0 = 40{,}0\\ \mathrm{cal}.
  • Fundir o gelo a 0^\circ\mathrm{C}: Q_2 = m_i\, L_f = 8{,}00 \times 80{,}0 = 640{,}0\\ \mathrm{cal}.
  • Aquecer a água formada (da fusão) de 0^\circ\mathrm{C} até T_f: Q_3 = m_i\, c_{\text{água}}\, (T_f - 0) = 8{,}00 \times 1{,}00 \times T_f = 8{,}00\,T_f\\ \mathrm{cal}.á
  • Água inicial (massa m_w = 100\\ \mathrm{g}) resfria de 20{,}0^\circ\mathrm{C} até T_f: Q_4 = m_w\, c_{\text{água}}\, (T_f - 20{,}0) = 100 \times 1{,}00 \times (T_f - 20{,}0) = 100(T_f - 20{,}0)\\ \mathrm{cal}.á
Conservação de energia (soma dos calores = 0):
Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 0.
Substituindo:
40{,}0 + 640{,}0 + 8{,}00\,T_f + 100(T_f - 20{,}0) = 0.
Simplificando:
680{,}0 + 8{,}00\,T_f + 100T_f - 2000{,}0 = 0
108{,}0\,T_f -1320{,}0 = 0
T_f = \dfrac{1320{,}0}{108{,}0} = 12{,}2222\ldots^\circ\mathrm{C}.
Converter para kelvin quando necessário:
T_f = 12{,}2222\ldots^\circ\mathrm{C} \quad\Rightarrow\quad T_f = 285{,}3722\ldots\\ \mathrm{K}.
Observação física: T_f>0^\circ\mathrm{C}, então todo o gelo derreteu — o caminho usado está coerente.

Passo 4

Agora calculo as variações de entropia das partes, usando temperaturas em kelvin.
  1. Aquecimento do gelo sólido de -10{,}0^\circ\mathrm{C} ( T_{i1}=263{,}15\\ \mathrm{K}) até 0^\circ\mathrm{C} ( T_{f1}=273{,}15\\ \mathrm{K}):
\Delta S_1 = m_i\, c_{\text{gelo}} \ln\!\left(\dfrac{273{,}15}{263{,}15}\right).
Substituindo:
\Delta S_1 = 8{,}00 \times 0{,}50 \times \ln\!\left(\dfrac{273{,}15}{263{,}15}\right) = 4{,}00 \times \ln\!\left(\dfrac{273{,}15}{263{,}15}\right).
Cálculo numérico:
\ln\!\left(\dfrac{273{,}15}{263{,}15}\right)\approx 0{,}03732,
logo
\Delta S_1 \approx 4{,}00 \times 0{,}03732 = 0{,}1493\\ \mathrm{cal/K}.
  1. Fusão do gelo a 0^\circ\mathrm{C} (temperatura constante 273{,}15\\ \mathrm{K}):
\Delta S_2 = \dfrac{Q_2}{T_{\text{fus}}} = \dfrac{m_i L_f}{273{,}15} = \dfrac{640{,}0}{273{,}15}\\ \mathrm{cal/K}.
Cálculo numérico:
\Delta S_2 \approx 2{,}3438\\ \mathrm{cal/K}.
  1. Aquecer a água que se formou (da fusão) de 0^\circ\mathrm{C} a T_f: aqui T varia, então
\Delta S_3 = m_i\, c_{\text{água}} \ln\!\left(\dfrac{T_f}{273{,}15}\right) = 8{,}00 \times 1{,}00 \times \ln\!\left(\dfrac{285{,}3722}{273{,}15}\right).á
Cálculo numérico:
\ln\!\left(\dfrac{285{,}3722}{273{,}15}\right)\approx 0{,}04373,
logo
\Delta S_3 \approx 8{,}00 \times 0{,}04373 = 0{,}3499\\ \mathrm{cal/K}.
  1. Resfriamento da água inicial de 20{,}0^\circ\mathrm{C} ( T_{i2}=293{,}15\\ \mathrm{K}) até T_f:
\Delta S_4 = m_w\, c_{\text{água}} \ln\!\left(\dfrac{T_f}{293{,}15}\right) = 100 \times \ln\!\left(\dfrac{285{,}3722}{293{,}15}\right).á
Cálculo numérico:
\ln\!\left(\dfrac{285{,}3722}{293{,}15}\right)\approx -0{,}0266766,
logo
\Delta S_4 \approx 100 \times (-0{,}0266766) = -2{,}6677\\ \mathrm{cal/K}.

Passo 5

Somando as contribuições para obter a variação total de entropia do sistema (gelo + água):
\Delta S_{\text{sistema}} = \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3 + \Delta S_4.
Substituindo os valores numéricos obtidos:
\Delta S_{\text{sistema}} \approx 0{,}1493 + 2{,}3438 + 0{,}3499 - 2{,}6677 = 0{,}1753\\ \mathrm{cal/K}.
Arredondando com razoável número de algarismos significativos:
\Delta S_{\text{sistema}} \approx 0{,}175\\ \mathrm{cal/K}.
Se desejar em unidades SI (joule por kelvin), usar 1\\ \mathrm{cal} = 4{,}184\\ \mathrm{J}:
\Delta S_{\text{sistema}} \approx 0{,}1753 \times 4{,}184 \approx 0{,}734\\ \mathrm{J/K}.
Observação física rápida: o resultado é positivo, conforme esperado pelo segundo princípio da termodinâmica para um processo espontâneo irreversível (mistura e aquecimento/refriamento).

Resposta

\Delta S_{\text{sistema}} \approx 0{,}175\\ \mathrm{cal/K}
\Delta S_{\text{sistema}} \approx 0{,}734\\ \mathrm{J/K}

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