1. Uma usina termoelétrica que produz 1000 M W de potência elétrica localiza-se ao lado de um rio. A eficiência térmica total fornecida à usina é de 40 \%.
    a) Qual a potência térmica total fornecida à usina?
    b) Qual a taxa de eliminação do calor pela usina?
    c) Se o calor (lixo térmico) for lançado ao rio e se o acréscimo de temperatura deste for inferior a 5^{\circ} \mathrm{C}, que quantidade de água deverá estar disponível por segundo?
    d) Na parte (c), se o rio tiver 100 m de largura e 5 m de profundidade, qual deverá ser a velocidade mínima doa águas?
    e) Um gás ideal expande-se de forma isotérmica e reversível a 132^{\circ} \mathrm{C}. A entropia do gás aumenta de 46 \mathrm{~J} / \mathrm{K}. Quanto calor foi absorvido?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Potência elétrica produzida: P_{\mathrm{el}} = 1000\\ \text{MW}.
  • Eficiência térmica da usina: \eta = 40\% = 0{,}40.
  • Para a parte (c) o aquecimento máximo permitido do rio é \Delta T < 5^\circ\mathrm{C} (vou usar \Delta T = 5\\ \mathrm{K} como limite para calcular o fluxo mínimo de água).
  • Para a parte (d) o rio tem largura 100\\ \mathrm{m} e profundidade 5\\ \mathrm{m}.
  • Para a parte (e) um gás ideal se expande isotermicamente e reversivelmente à temperatura 132^\circ\mathrm{C} e a entropia do gás aumenta \Delta S = 46\\ \mathrm{J/K}.
O enunciado pede:
(a) potência térmica total fornecida à usina;
(b) taxa de eliminação do calor (potência térmica rejeitada);
(c) massa (ou volume) de água por segundo necessária para manter o acréscimo de temperatura do rio inferior a 5^\circ\mathrm{C};
(d) dada a seção do rio, velocidade mínima da água necessária;
(e) calor absorvido pelo gás na expansão isotérmica reversível.

Passo 2

(a) Calcular a potência térmica total fornecida à usina.
Conceito e fórmula: eficiência térmica é a fração da potência térmica de entrada que é convertida em potência elétrica útil; ou seja,
\eta = \frac{P_{\mathrm{el}}}{P_{\mathrm{th}}},
onde
  • \eta é a eficiência (adimensional),
  • P_{\mathrm{el}} é a potência elétrica de saída (em \mathrm{W}),
  • P_{\mathrm{th}} é a potência térmica fornecida (em \mathrm{W}).
Despejando a fórmula para P_{\mathrm{th}}:
P_{\mathrm{th}}=\frac{P_{\mathrm{el}}}{\eta}.
Conversão de unidades e substituição (peguei P_{\mathrm{el}} e \eta do enunciado):
P_{\mathrm{el}} = 1000\\ \text{MW} = 1000\times10^{6}\\ \mathrm{W} = 1{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{W},
P_{\mathrm{th}}=\frac{1{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{W}}{0{,}40}=2{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a usina recebe 2{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{W} de energia térmica por segundo (ou seja, 2500\\ \text{MW}) para produzir 1000\\ \text{MW} elétricos.

Passo 3

(b) Calcular a taxa de eliminação do calor (potência térmica rejeitada).
Conceito: toda energia térmica que não é convertida em eletricidade é rejeitada ao meio; assim
\dot Q_{\mathrm{rej}} = P_{\mathrm{th}} - P_{\mathrm{el}}.
Também pode-se usar \dot Q_{\mathrm{rej}} = P_{\mathrm{el}}\bigl(\eta^{-1}-1\bigr).
Substituindo os valores (peguei P_{\mathrm{th}} calculado no passo anterior e P_{\mathrm{el}} do enunciado):
\dot Q_{\mathrm{rej}} = 2{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{W} - 1{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{W} = 1{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a usina precisa eliminar 1{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{J} de calor por segundo (ou 1500\\ \text{MW}) ao rio.

Passo 4

(c) Quanto de água deverá estar disponível por segundo para que o acréscimo de temperatura do rio seja inferior a 5^\circ\mathrm{C}?
Conceito e fórmula: a taxa de calor transferida para a água relaciona-se com o fluxo mássico da água e sua capacidade calorífica:
\dot Q = \dot m\, c\, \Delta T,
onde
  • \dot Q é a potência térmica rejeitada para a água ( \mathrm{W}),
  • \dot m é a vazão mássica de água ( \mathrm{kg/s}),
  • c é o calor específico da água ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura da água ( \mathrm{K}).
Despejando para \dot m:
\dot m = \frac{\dot Q}{c\,\Delta T}.
Valores usados (peguei \dot Q do passo anterior e uso valores padrão para água):
\dot Q = 1{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{W},\qquad c = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad \Delta T = 5\\ \mathrm{K}.
Cálculo:
c\,\Delta T = 4186\times5 = 20\,930\\ \mathrm{J/(kg)}.
\dot m = \frac{1{,}5\times10^{9}}{20\,930}\\ \mathrm{kg/s} \approx 7{,}16\times10^{4}\\ \mathrm{kg/s}.
Converter para vazão volumétrica usando densidade da água \rho \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão):
\dot V = \frac{\dot m}{\rho} \approx \frac{7{,}16\times10^{4}}{1000}\\ \mathrm{m^3/s} \approx 71{,}6\\ \mathrm{m^3/s}.
Interpretação prática: para que a água do rio sofra um aquecimento máximo de 5^\circ\mathrm{C}, é necessário pelo menos cerca de 7{,}16\times10^{4}\\ \mathrm{kg/s} de água, isto é, aproximadamente 71{,}6\\ \mathrm{m^3/s}. Se se exigir aquecimento estritamente inferior a 5^\circ\mathrm{C}, deve-se usar vazão ligeiramente maior.

Passo 5

(d) Com a largura e profundidade do rio, qual é a velocidade mínima das águas?
Conceito: vazão volumétrica relaciona-se com área da seção transversal e velocidade média por
\dot V = A\, v,
onde
  • \dot V é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}),
  • A é a área da seção transversal do rio ( \mathrm{m^2}),
  • v é a velocidade média ( \mathrm{m/s}).
Despejando para v:
v = \frac{\dot V}{A}.
Calcular a área da seção (peguei largura e profundidade do enunciado):
A = \text{largura}\times\text{profundidade} = 100\\ \mathrm{m}\times5\\ \mathrm{m} = 500\\ \mathrm{m^2}.
Substituindo \dot V \approx 71{,}6\\ \mathrm{m^3/s}:
v = \frac{71{,}6}{500}\\ \mathrm{m/s} \approx 0{,}143\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a velocidade mínima média necessária é aproximadamente 0{,}14\\ \mathrm{m/s}, o que é um valor pequeno (fluxo lento), indicando que um rio razoavelmente lento poderia dissipar esse calor se a vazão volumétrica for suficiente.

Passo 6

(e) Um gás ideal expande isotermicamente e reversivelmente a 132^\circ\mathrm{C}. A entropia do gás aumenta de 46\\ \mathrm{J/K}. Quanto calor foi absorvido?
Conceito: para um processo reversível isoterma, a variação de entropia do sistema relaciona-se ao calor trocado reversivelmente por
\Delta S = \frac{q_{\mathrm{rev}}}{T},
onde
  • \Delta S é a variação de entropia do sistema ( \mathrm{J/K}),
  • q_{\mathrm{rev}} é o calor absorvido pelo sistema no processo reversível ( \mathrm{J}),
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Despejando:
q_{\mathrm{rev}} = T\,\Delta S.
Converter a temperatura dada (peguei do enunciado):
T = 132^\circ\mathrm{C} = 132 + 273{,}15 = 405{,}15\\ \mathrm{K}.
Substituir \Delta S = 46\\ \mathrm{J/K}:
q_{\mathrm{rev}} = 405{,}15\times46\\ \mathrm{J} \approx 18\,636{,}9\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o gás absorveu cerca de 1{,}86\times10^{4}\\ \mathrm{J} durante a expansão isotérmica reversível; o sinal positivo indica absorção de calor pelo sistema.

Resposta

(a) P_{\mathrm{th}} = 2{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{W} = 2500\\ \text{MW}
(b) \dot Q_{\mathrm{rej}} = 1{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{W} = 1500\\ \text{MW}
(c) \dot m \approx 7{,}16\times10^{4}\\ \mathrm{kg/s} (ou \dot V \approx 71{,}6\\ \mathrm{m^3/s})
(d) v_{\min} \approx 0{,}143\\ \mathrm{m/s}
(e) q_{\mathrm{rev}} \approx 1{,}86\times10^{4}\\ \mathrm{J}

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