1. O melhor vácuo pode ser obtido no laboratório corresponde à pressão de aproximadamente 10^{-14} \mathrm{~atm}.
    a) Prove que essa pressão corresponde ao valor 10^{-10} \mathrm{mmHg}.
    b) Quantas moléculas por centímetro cúbico existem nesse vácuo na temperatura ambiente?
    c) Compare com o valor obtido para o meio ambiente em condições normais.

Passo 1

O enunciado dá a pressão do “melhor vácuo” como \,10^{-14}\\ \text{atm}\, e pede três coisas:
  • (a) mostrar que essa pressão corresponde ao valor \,10^{-10}\\ \text{mmHg} (conversão de unidades);
  • (b) quantas moléculas por centímetro cúbico existem nesse vácuo à temperatura ambiente;
  • (c) comparar esse resultado com o valor típico do meio ambiente em condições normais.
Informações e constantes úteis (valores que vou usar nos cálculos):
  • relação entre atmosferas e milímetros de mercúrio: \,1\\ \text{atm}=760\\ \text{mmHg}\,;
  • relação alternativa usando pascal: \,1\\ \text{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa}\, e \,1\\ \text{mmHg}=133{,}322\\ \text{Pa}\,;
  • constante de Boltzmann: \,k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \text{J/K}\,;
  • temperatura ambiente que vou considerar: \,T=298\\ \text{K} (aprox. 25^\circ\text{C}).

Passo 2

(a) Conversão direta de \,\text{atm} para \,\text{mmHg}.
Usando \,1\\ \text{atm}=760\\ \text{mmHg}, a pressão \,p=10^{-14}\\ \text{atm} corresponde a
p = 10^{-14}\times 760\\ \text{mmHg} = 7{,}6\times 10^{-12}\\ \text{mmHg}.
Portanto a conversão correta dá \,7{,}6\times10^{-12}\\ \text{mmHg}, e não \,10^{-10}\\ \text{mmHg}. A discrepância é
\frac{10^{-10}}{7{,}6\times10^{-12}}\approx 13{,}16,
ou seja, o valor \,10^{-10}\\ \text{mmHg} é cerca de 13 vezes maior que o resultado correto. (Provavelmente houve um erro de arredondamento ou de fator no enunciado.)

Passo 3

Verificação usando pascal (mesmo resultado, para conferir):
Converter \,10^{-14}\\ \text{atm} em pascal:
p = 10^{-14}\times 1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa} = 1{,}01325\times10^{-9}\\ \text{Pa}.
Agora converter para \,\text{mmHg} usando \,1\\ \text{mmHg}=133{,}322\\ \text{Pa}:
p = \frac{1{,}01325\times10^{-9}}{133{,}322}\\ \text{mmHg} \approx 7{,}6\times10^{-12}\\ \text{mmHg},
confirmando o resultado do Passo 2.

Passo 4

(b) Número de moléculas por centímetro cúbico usando a lei dos gases ideais em forma microscópica.
A forma útil da lei dos gases para número de partículas é
pV = N k_B T,
onde p é a pressão, V o volume, N o número de moléculas no volume V, k_B a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta. Reorganizando para densidade numérica (número por volume):
n \equiv \frac{N}{V} = \frac{p}{k_B T}.
Explicando: \,n é o número de moléculas por metro cúbico quando p está em pascal e k_B em \text{J/K}; para obter por \text{cm}^3 basta dividir por 10^{6} (pois 1\\ \text{m}^3 = 10^{6}\\ \text{cm}^3).
Usando o valor em pascal do Passo 3, \,p=1{,}01325\times10^{-9}\\ \text{Pa}, e \,T=298\\ \text{K}:
k_B T = 1{,}380649\times10^{-23}\times 298 \approx 4{,}114335\times10^{-21}\\ \text{J},
n_{\text{(m}^{-3})} = \frac{1{,}01325\times10^{-9}}{4{,}114335\times10^{-21}} \approx 2{,}462\times10^{11}\\ \text{moléculas/m}^3.é
Passando para \text{moléculas/cm}^3é:
n_{\text{(cm}^{-3})} = \frac{2{,}462\times10^{11}}{10^{6}} \approx 2{,}462\times10^{5}\\ \text{moléculas/cm}^3.é
Interpretação: mesmo esse “melhor vácuo” contém algumas centenas de milhares de moléculas por centímetro cúbico — muito pouco comparado ao ar ambiente, mas não exatamente zero.

Passo 5

(c) Valor típico do meio ambiente em condições normais e comparação.
Para ar à pressão \,1\\ \text{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa} e \,T=298\\ \text{K}, usamos a mesma fórmula:
n_{\text{(m}^{-3})} = \frac{1{,}01325\times10^{5}}{4{,}114335\times10^{-21}} \approx 2{,}462\times10^{25}\\ \text{moléculas/m}^3,é
n_{\text{(cm}^{-3})} = \frac{2{,}462\times10^{25}}{10^{6}} \approx 2{,}462\times10^{19}\\ \text{moléculas/cm}^3.é
Comparação direta entre ar ambiente e o vácuo de 10^{-14}\\ \text{atm}:
\frac{n_{\text{ambiente}}}{n_{\text{vácuo}}} \approx \frac{2{,}462\times10^{19}}{2{,}462\times10^{5}} = 10^{14}.á
Ou seja, o ar ambiente tem cerca de \,10^{14} vezes mais moléculas por cm ^3 do que esse vácuo — exatamente o mesmo fator da razão de pressões \,1\\ \text{atm}/10^{-14}\\ \text{atm}=10^{14}.

Passo 6

Resumo interpretativo rápido e incentivo: convertendo corretamente, \,10^{-14}\\ \text{atm} é extremamente baixo (vácuo muito profundo) e contém apenas cerca de \,2{,}5\times10^{5} moléculas por cm ^3, enquanto o ar comum tem \sim 2{,}5\times10^{19} moléculas por cm ^3. A diferença é de 14 ordens de magnitude — enorme! Continua firme: entender essas conversões e a aplicação da lei dos gases é exatamente o tipo de cálculo que cai em prova; treina algumas vezes essas contas com ordens de grandeza que tudo fica mais automático.

Resposta

(a) \;7{,}6\times10^{-12}\\ \text{mmHg} (portanto \,10^{-10}\\ \text{mmHg} está incorreto).
(b) \;2{,}462\times10^{5}\\ \text{moléculas/cm}^3é.
(c) \;2{,}462\times10^{19}\\ \text{moléculas/cm}^3é (o ambiente tem \;10^{14} vezes mais moléculas por cm ^3 do que o vácuo dado).

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