Um cubo de gelo (massa de 30 g ) a 0^{\circ} \mathrm{C} é abandonado na pia da cozinha onde derrete gradualmente. A temperatura da cozinha é 25^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calcule a variação de entropia do cubo de gelo ao longo do processo de derretimento a 0^{\circ} \mathrm{C} descrito acima. (Ignore a pequena variação de volume envolvida.)
b) Calcule a variação de entropia da água produzida pelo derretimento do gelo em seu aquecimento de 0^{\circ} \mathrm{C} a 25^{\circ} \mathrm{C}.
c) Calcule a variação de entropia da cozinha produzida pela transferência de energia dela para o gelo e a água (ou pelo calor por ela cedido.)
d) Calcule a variação de entropia do universo resultante dos processos descritos. Esta variação total é positiva, negativa ou nula? Este resultado era esperado por você? Por que ou por que não?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que segue foi retirado do enunciado).
  • Dados do problema:
    • Massa do cubo de gelo: m=0{,}03\\ \mathrm{kg} (30 g).
    • Temperatura inicial do gelo (e do gelo que derrete): 0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura da cozinha (reservatório térmico): 25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Vamos desprezar a variação de volume (trabalho de pressão-volume desprezível).
    • Valores físicos usados (valores padrão):
      • Calor latente de fusão da água: L_f=334{,}000\\ \mathrm{J/kg}.
      • Calor específico da água líquida (a pressão ambiente): c=4{,}186\cdot10^{3}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • O enunciado pede em partes:
    (a) \Delta S do cubo de gelo no processo de fusão a 0^\circ\mathrm{C}.
    (b) \Delta S da água resultante quando é aquecida de 0^\circ\mathrm{C} a 25^\circ\mathrm{C}.
    (c) \Delta S da cozinha (reservatório) por ter cedido calor.
    (d) \Delta S do universo (soma das três contribuições) e comentar se é positiva/negativa/nula e por quê.
A partir daqui passo a passo calculamos cada item e explico cuidadosamente as fórmulas usadas.

Passo 2

Parte (a): variação de entropia do cubo de gelo durante a fusão a 0^\circ\mathrm{C}.
  • Conceito usado: a entropia S tem variação definida por \mathrm{d}S=\dfrac{\delta Q_\text{rev}}{T} para um processo reversível. Para uma transformação isotérmica de fase (fusão) onde a quantidade de calor absorvida reversivelmente é Q_\text{fus}=mL_f à temperatura de fusão T_m, a variação de entropia do sistema que funde é
\Delta S_\text{fus}=\frac{Q_\text{fus}}{T_m}=\frac{mL_f}{T_m}.
  • Explicando as variáveis:
    • m é a massa que funde (em kg).
    • L_f é o calor latente de fusão (em \mathrm{J/kg}); significa energia necessária para transformar 1 kg de gelo a 0^\circ\mathrm{C} em 1 kg de água a 0^\circ\mathrm{C} sem variação de temperatura.
    • T_m é a temperatura absoluta de fusão (em K).
  • Substituindo números:
Q_\text{fus}=mL_f=0{,}03\cdot 334000 = 10020\\ \mathrm{J}.
\Delta S_\text{fus}=\frac{10020}{273{,}15}\approx 36{,}7\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação rápida: ao fundir, o cubo de gelo ganha entropia porque a água líquida tem mais microestados candidatos do que o gelo cristalino.

Passo 3

Parte (b): variação de entropia da água produzida quando aquece de 0^\circ\mathrm{C} a 25^\circ\mathrm{C}.
  • Conceito usado: para aquecer uma substância de forma reversível sem mudança de fase, a variação de entropia é
\Delta S=\int_{T_i}^{T_f}\frac{\delta Q_\text{rev}}{T}=\int_{T_i}^{T_f}\frac{mc\,\mathrm{d}T}{T}=mc\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
quando o calor específico c é aproximadamente constante no intervalo de temperatura considerado.
  • Explicando as variáveis:
    • m é a massa da água ( 0{,}03\\ \mathrm{kg}).
    • c é o calor específico da água líquida ( 4{,}186\times10^{3}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
    • T_i e T_f são as temperaturas inicial e final em Kelvin ( 273{,}15\\ \mathrm{K} e 298{,}15\\ \mathrm{K}).
  • Cálculo passo a passo:
    • Primeiro calcule mc:
    mc=0{,}03\cdot 4{,}186\times10^{3}=125{,}58\\ \mathrm{J/K}.
    • Razão das temperaturas:
    \frac{T_f}{T_i}=\frac{298{,}15}{273{,}15}\approx 1{,}0916, \qquad \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right)\approx 0{,}0877.
    • Portanto
    \Delta S_\text{aquecimento}=mc\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right)=125{,}58\cdot 0{,}0877\approx 11{,}0\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação: aquecer a água aumenta ainda mais sua entropia, mas esse ganho é menor que o ganho devido à fusão.

Passo 4

Parte (c): variação de entropia da cozinha (reservatório) que cede calor.
  • Conceito usado: se um grande reservatório térmico (a cozinha) está aproximadamente a temperatura constante T_\text{cozinha}=298{,}15\\ \mathrm{K} e cede uma quantidade total de calor Q_\text{cedido} ao sistema, sua variação de entropia é
\Delta S_\text{cozinha}=-\frac{Q_\text{cedido}}{T_\text{cozinha}}.
O sinal negativo aparece porque o reservatório perde energia; sua entropia diminui.
  • Qual é Q_\text{cedido}? É a soma do calor necessário para fundir o gelo mais o calor para aquecer a água:
Q_\text{cedido}=Q_\text{fus}+Q_\text{aquecimento}.
Já calculamos Q_\text{fus}=10020\\ \mathrm{J}. O calor absorvido para aquecer a água é
Q_\text{aquecimento}=mc\Delta T=0{,}03\cdot 4186\cdot 25 = 3139{,}5\\ \mathrm{J}.
Logo
Q_\text{cedido}=10020 + 3139{,}5 = 13159{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Então a variação de entropia da cozinha é
\Delta S_\text{cozinha}=-\frac{13159{,}5}{298{,}15}\approx -44{,}2\\ \mathrm{J/K}.
Comentário físico: a cozinha perde energia a 25^\circ\mathrm{C}, então sua entropia diminui; essa perda será em magnitude maior que o ganho de aquecimento, mas precisa ser comparada com os ganhos do sistema (fusão + aquecimento) para ver o balanço total.

Passo 5

Parte (d): variação total de entropia do universo (soma das contribuições) e interpretação.
  • Soma das três variações:
\Delta S_\text{universo}=\Delta S_\text{fus}+\Delta S_\text{aquecimento}+\Delta S_\text{cozinha}.
Substituindo os valores numéricos:
\Delta S_\text{universo}=36{,}7 + 11{,}0 + (-44{,}2)=3{,}6\\ \mathrm{J/K}\\ (\text{aprox.}).
  • Conclusão sobre sinal e interpretação: \Delta S_\text{universo} é positiva (aproximadamente 3{,}6\\ \mathrm{J/K}). Isso era de se esperar: o processo real (gelo a 0^\circ\mathrm{C} recebendo calor de um ambiente a 25^\circ\mathrm{C}) envolve transferência de calor através de uma diferença finita de temperatura entre fonte e receptáculo — um processo irreversível — e a segunda lei da termodinâmica diz que a entropia do universo não diminui em processos espontâneos isolados; normalmente aumenta. Aqui a entropia total aumenta porque a perda de entropia do reservatório (casa) é menor em magnitude que a soma dos ganhos de entropia do gelo (na fusão) e da água (no aquecimento). Em palavras simples: calor vindo de uma temperatura mais alta para uma mais baixa produz entropia líquida positiva.
  • Observação de consistência: se o calor para a fusão fosse fornecido reversivelmente por um reservatório exatamente a 0^\circ\mathrm{C}, a entropia total do universo seria justamente a soma dos ganhos do sistema menos a perda do reservatório e poderia ser zero (processo reversível); mas aqui a fonte está a 25^\circ\mathrm{C}, o que gera entropia adicional.

Resposta

(a) \Delta S_\text{gelo}=36{,}7\\ \mathrm{J/K}
(b) \Delta S_\text{água\\ (0^\circ\mathrm{C}\to25^\circ\mathrm{C})}=11{,}0\\ \mathrm{J/K}á
(c) \Delta S_\text{cozinha}=-44{,}2\\ \mathrm{J/K}
(d) \Delta S_\text{universo}\approx 3{,}6\\ \mathrm{J/K} — positiva.

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