Um litro de ar, inicialmente à temperatura ambiente e pressão atmosférica, é aquecido à pressão constante até dobrar de volume. Calcule o aumento de entropia durante este processo.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Volume inicial: V_1 = 1\\ \text{L} = 10^{-3}\\ \text{m}^3.
  • Pressão inicial (e do processo, já que o aquecimento é à pressão constante): p = p_{\text{atm}} = 1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa}.
  • O volume dobra no processo: V_2 = 2V_1.
  • O ar pode ser tratado como gás ideal e o processo é reversível à pressão constante.
    O que o enunciado pede: calcular o aumento de entropia \Delta S durante esse aquecimento.
Observação necessária (assunção feita sem perguntar): vou tomar “temperatura ambiente” como T_1 = 298\\ \text{K} (aprox. 25^\circC) para poder dar um valor numérico final. Além disso, vou aproximar o ar como um gás diatômico com capacidade molar a pressão constante \displaystyle C_{p,m}=\frac{7}{2}R (justificarei isso adiante). Também apresentarei a expressão simbólica em função de T_1 caso prefira trocar a temperatura.

Passo 2

Conceito e fórmula básica para mudança de entropia:
A entropia de um sistema muda, para um processo reversível, segundo
\Delta S=\int_{i}^{f}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Aqui:
  • \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente num elemento do processo;
  • T é a temperatura absoluta;
  • \Delta S tem unidades de \text{J}\,\text{K}^{-1}.
No processo à pressão constante, o calor reversível trocado é dado por
\delta Q_{\text{rev}} = n\,C_{p,m}\,dT,
onde:
  • n é o número de mols do gás,
  • C_{p,m} é a capacidade calorífica molar à pressão constante (unidade \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}),
  • dT é a variação infinitesimal de temperatura.
Substituindo na integral:
\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{n\,C_{p,m}\,dT}{T} = n\,C_{p,m}\,\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Explicando cada termo na prática: para calcular \Delta S precisamos de n, de C_{p,m} e da razão \dfrac{T_2}{T_1}.

Passo 3

Relacionando temperaturas e volumes (lei dos gases ideais):
Para um gás ideal vale
pV = nRT,
onde R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}). Como o processo ocorre à pressão constante p, temos T proporcional a V (pois T=\dfrac{pV}{nR}). Portanto
\frac{T_2}{T_1}=\frac{V_2}{V_1}.
No nosso caso V_2/V_1=2, logo
\frac{T_2}{T_1}=2.
Substituindo na fórmula de \Delta S:
\Delta S = n\,C_{p,m}\,\ln 2.
Essa é uma forma conveniente: é preciso apenas achar n e C_{p,m}.

Passo 4

Calcular o número de mols n a partir das condições iniciais (usei a equação dos gases ideais com os dados do enunciado):
n=\frac{pV_1}{R T_1}.
Substituindo p=1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa}, V_1=10^{-3}\\ \text{m}^3, R=8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1} e T_1=298\\ \text{K},
n=\frac{1{,}01325\times10^{5}\times 10^{-3}}{8{,}314\times 298} =\frac{101{,}325}{8{,}314\times 298}.
Calculando passo a passo:
8{,}314\times 298 = 2{,}477{,}572,
n=\frac{101{,}325}{2{,}477{,}572}\approx 0{,}04090\\ \text{mol}.

Passo 5

Escolha e justificativa de C_{p,m} para o ar:
O ar, à temperatura ambiente, comporta-se aproximadamente como um gás diatômico (principalmente \text{N}_2 e \text{O}_2). Para um gás diatômico, os valores molares ideais (ignorando modos vibracionais excitados) são
C_{V,m}=\frac{5}{2}R,\qquad C_{p,m}=C_{V,m}+R=\frac{7}{2}R.
Portanto uso
C_{p,m}=\frac{7}{2}R\approx 3{,}5\times 8{,}314 = 29{,}099\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}.

Passo 6

Calcular \Delta S numericamente:
Usando \Delta S = n\,C_{p,m}\,\ln 2, com n\approx 0{,}04090\\ \text{mol}, C_{p,m}\approx 29{,}099\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1} e \ln 2\approx 0{,}693147,
primeiro calcule nC_{p,m}:
nC_{p,m}\approx 0{,}04090\times 29{,}099 \approx 1{,}1891\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
Agora
\Delta S \approx 1{,}1891\times 0{,}693147 \approx 0{,}8245\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
Arredondando com razoável precisão:
\Delta S \approx 0{,}825\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
Observação alternativa (forma simbólica útil): se preferir a resposta em função de T_1 sem numerar T_1,
\Delta S = n\,C_{p,m}\ln 2 = \frac{pV_1}{R T_1}\,C_{p,m}\ln 2.
Usando C_{p,m}=\tfrac{7}{2}R isso simplifica para
\Delta S = \frac{7}{2}\,\frac{pV_1}{T_1}\ln 2,
que ao inserir p e V_1 dá o mesmo número após fixar T_1.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o resultado positivo indica que a entropia do ar aumentou (faz sentido: calor foi fornecido de modo irreversível se não for perfeitamente reversível, mas aqui consideramos processo reversível para definir \Delta S do sistema — na prática o aquecimento aumenta a desordem térmica). Ótimo trabalho por trazer a questão — isso é um tipo clássico de cálculo que vale a pena dominar: usar a definição integral de \Delta S, aproveitar a condição do processo (aqui p= constante) e aplicar a lei dos gases ideais para relacionar T e V. Força aí — está indo bem!

Resposta

\Delta S \approx 0{,}825\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}

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