Um litro de ar, inicialmente à temperatura ambiente e pressão atmosférica, é aquecido à pressão constante até dobrar de volume. Calcule o aumento de entropia durante este processo.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei todos estes dados do enunciado):
- Volume inicial:
. - Pressão inicial (e do processo, já que o aquecimento é à pressão constante):
. - O volume dobra no processo:
. - O ar pode ser tratado como gás ideal e o processo é reversível à pressão constante.
O que o enunciado pede: calcular o aumento de entropiadurante esse aquecimento.
Observação necessária (assunção feita sem perguntar): vou tomar “temperatura ambiente” como
(aprox.
C) para poder dar um valor numérico final. Além disso, vou aproximar o ar como um gás diatômico com capacidade molar a pressão constante
(justificarei isso adiante). Também apresentarei a expressão simbólica em função de
caso prefira trocar a temperatura.
Passo 2
Conceito e fórmula básica para mudança de entropia:
A entropia de um sistema muda, para um processo reversível, segundo
A entropia de um sistema muda, para um processo reversível, segundo
Aqui:
-
é o calor trocado reversivelmente num elemento do processo; -
é a temperatura absoluta; -
tem unidades de .
No processo à pressão constante, o calor reversível trocado é dado por
onde:
-
é o número de mols do gás, -
é a capacidade calorífica molar à pressão constante (unidade ), -
é a variação infinitesimal de temperatura.
Substituindo na integral:
Explicando cada termo na prática: para calcular
precisamos de
, de
e da razão
.
Passo 3
Relacionando temperaturas e volumes (lei dos gases ideais):
Para um gás ideal vale
Para um gás ideal vale
onde
é a constante universal dos gases (
). Como o processo ocorre à pressão constante
, temos
proporcional a
(pois
). Portanto
No nosso caso
, logo
Substituindo na fórmula de
:
Essa é uma forma conveniente: é preciso apenas achar
e
.
Passo 4
Calcular o número de mols
a partir das condições iniciais (usei a equação dos gases ideais com os dados do enunciado):
Substituindo
,
,
e
,
Calculando passo a passo:
Passo 5
Escolha e justificativa de
para o ar:
O ar, à temperatura ambiente, comporta-se aproximadamente como um gás diatômico (principalmente e
). Para um gás diatômico, os valores molares ideais (ignorando modos vibracionais excitados) são
O ar, à temperatura ambiente, comporta-se aproximadamente como um gás diatômico (principalmente
Portanto uso
Passo 6
Calcular
numericamente:
Usando , com
,
e
,
primeiro calcule :
Usando
primeiro calcule
Agora
Arredondando com razoável precisão:
Observação alternativa (forma simbólica útil): se preferir a resposta em função de
sem numerar
,
Usando
isso simplifica para
que ao inserir
e
dá o mesmo número após fixar
.
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o resultado positivo indica que a entropia do ar aumentou (faz sentido: calor foi fornecido de modo irreversível se não for perfeitamente reversível, mas aqui consideramos processo reversível para definir
do sistema — na prática o aquecimento aumenta a desordem térmica). Ótimo trabalho por trazer a questão — isso é um tipo clássico de cálculo que vale a pena dominar: usar a definição integral de
, aproveitar a condição do processo (aqui
constante) e aplicar a lei dos gases ideais para relacionar
e
. Força aí — está indo bem!