Um cubo homogêneo de densidade \rho, massa M e comprimento do lado b tem um vértice na origem e três lados adjacentes repousando ao longo dos eixos coordenados.
Determine o tensor de inércia do cubo em um sistema de coordenadas com origem no centro de massa O.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Dado: cubo homogêneo de densidade \rho, massa M e aresta de comprimento b.
  • Posição: um vértice do cubo está na origem do sistema de coordenadas e três arestas adjacentes estão ao longo dos eixos coordenados (isto define a orientação do cubo).
  • Pedido: determinar o tensor de inércia do cubo em um sistema de coordenadas cuja origem está no centro de massa O do cubo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O cubo é homogêneo, então \rho é constante e M=\rho\,b^{3}.
  • No sistema com origem no centro do cubo, as coordenadas variam simetricamente entre -b/2 e +b/2 em cada eixo (já que o CM fica no centro geométrico).

Passo 2

Escolha do método (explicação amigável): vou calcular diretamente os componentes do tensor de inércia no sistema com origem no centro de massa usando a definição integral do tensor. Isso é simples e direto aqui porque, no sistema centrado no CM, os limites de integração são simétricos -b/2 a +b/2 e a simetria do cubo facilita muito (muitos termos dão zero). Alternativa seria calcular em relação ao vértice e usar o teorema dos eixos paralelos; mas integrar no referencial do CM é mais direto e pedagógico.

Passo 3

Fórmula do tensor de inércia (a mini-aula): o tensor de inércia (I_{ij}) relativo à origem é dado por
I_{ij}=\int_V \bigl(r^{2}\delta_{ij}-x_{i}x_{j}\bigr)\,dm,
onde
  • r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
  • \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, 0 caso contrário),
  • x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z,
  • dm=\rho\,dV porque o corpo é homogêneo.
    Explicando: para i=j essa fórmula dá os momentos principais I_{xx},I_{yy},I_{zz} (por exemplo I_{xx}=\int (y^{2}+z^{2})\,dm), e para i\ne j dá os produtos de inércia (por exemplo I_{xy}=-\int xy\,dm).

Passo 4

Coordenadas e densidade: colocamos o sistema de referência com a origem no centro de massa; então as integrais são sobre
x,y,z\in\Bigl[-\frac{b}{2},\frac{b}{2}\Bigr].
Como M=\rho b^{3}, temos a densidade
\rho=\frac{M}{b^{3}}.

Passo 5

Cálculo de I_{xx} passo a passo (mostrando as contas): pela definição
I_{xx}=\int_V (y^{2}+z^{2})\,dm=\rho\int_{-b/2}^{b/2}\int_{-b/2}^{b/2}\int_{-b/2}^{b/2} (y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz.
Separando termos e aproveitando que a integral em x só dá um fator b:
I_{xx}=\rho\Bigl(\int_{-b/2}^{b/2}dx\Bigr)\Bigl(\int_{-b/2}^{b/2} y^{2}dy\Bigr)\Bigl(\int_{-b/2}^{b/2}dz\Bigr) +\rho\Bigl(\int_{-b/2}^{b/2}dx\Bigr)\Bigl(\int_{-b/2}^{b/2}dy\Bigr)\Bigl(\int_{-b/2}^{b/2} z^{2}dz\Bigr).
Agora calculamos as integrais unidimensionais:
\int_{-b/2}^{b/2} dx = b,\qquad \int_{-b/2}^{b/2} y^{2} dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{-b/2}^{b/2}=\frac{b^{3}}{12},
e análogamente \int_{-b/2}^{b/2} z^{2} dz=\dfrac{b^{3}}{12} e \int_{-b/2}^{b/2} dy=b.
Substituindo:
I_{xx}=\rho\bigl(b\cdot \tfrac{b^{3}}{12}\cdot b + b\cdot b\cdot \tfrac{b^{3}}{12}\bigr) =\rho\cdot \frac{b^{5}}{6}.
Usando \rho=\dfrac{M}{b^{3}} obtemos
I_{xx}=\frac{M}{b^{3}}\cdot\frac{b^{5}}{6}=\frac{1}{6}Mb^{2}.

Passo 6

Cálculo de I_{yy} e I_{zz} por simetria: pelo mesmo raciocínio, trocando papéis de x,y,z, obtemos
I_{yy}=\frac{1}{6}Mb^{2},\qquad I_{zz}=\frac{1}{6}Mb^{2}.
Intuitivamente: o cubo é totalmente simétrico, então os três momentos principais são iguais.

Passo 7

Produtos de inércia (componentes fora da diagonal): por definição
I_{xy}=-\int_V xy\,dm=-\rho\int_{-b/2}^{b/2}\int_{-b/2}^{b/2}\int_{-b/2}^{b/2} xy\,dx\,dy\,dz.
Mas a função xy é ímpar em x ou em y ao integrar nos limites simétricos [-b/2,b/2], portanto a integral vale zero. O mesmo vale para I_{xz} e I_{yz}. Assim todos os produtos de inércia são nulos:
I_{xy}=I_{xz}=I_{yz}=0.

Passo 8

Interpretação final: no sistema com origem no centro de massa e eixos alinhados com as arestas do cubo, o tensor de inércia é diagonal (eixos principais coincidem com as arestas) e tem as três componentes iguais \dfrac{1}{6}Mb^{2}.

Resposta

I=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{6}Mb^{2} & 0 & 0\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{6}Mb^{2} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{6}Mb^{2} \end{pmatrix}]

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