Um cubo homogêneo de densidade
, massa
e comprimento do lado b tem um vértice na origem e três lados adjacentes repousando ao longo dos eixos coordenados.
Determine o tensor de inércia do cubo em um sistema de coordenadas com origem no centro de massa O.
Determine o tensor de inércia do cubo em um sistema de coordenadas com origem no centro de massa O.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
- Dado: cubo homogêneo de densidade
, massa e aresta de comprimento . - Posição: um vértice do cubo está na origem do sistema de coordenadas e três arestas adjacentes estão ao longo dos eixos coordenados (isto define a orientação do cubo).
- Pedido: determinar o tensor de inércia do cubo em um sistema de coordenadas cuja origem está no centro de massa
do cubo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O cubo é homogêneo, então
é constante e . - No sistema com origem no centro do cubo, as coordenadas variam simetricamente entre
e em cada eixo (já que o CM fica no centro geométrico).
Passo 2
Escolha do método (explicação amigável): vou calcular diretamente os componentes do tensor de inércia no sistema com origem no centro de massa usando a definição integral do tensor. Isso é simples e direto aqui porque, no sistema centrado no CM, os limites de integração são simétricos
a
e a simetria do cubo facilita muito (muitos termos dão zero). Alternativa seria calcular em relação ao vértice e usar o teorema dos eixos paralelos; mas integrar no referencial do CM é mais direto e pedagógico.
Passo 3
Fórmula do tensor de inércia (a mini-aula): o tensor de inércia
relativo à origem é dado por
onde
-
, -
é o delta de Kronecker ( se , caso contrário), -
, -
porque o corpo é homogêneo.
Explicando: paraessa fórmula dá os momentos principais (por exemplo ), e para dá os produtos de inércia (por exemplo ).
Passo 4
Coordenadas e densidade: colocamos o sistema de referência com a origem no centro de massa; então as integrais são sobre
Como
, temos a densidade
Passo 5
Cálculo de
passo a passo (mostrando as contas): pela definição
Separando termos e aproveitando que a integral em
só dá um fator
:
Agora calculamos as integrais unidimensionais:
e análogamente
e
.
Substituindo:
Substituindo:
Usando
obtemos
Passo 6
Cálculo de
e
por simetria: pelo mesmo raciocínio, trocando papéis de
, obtemos
Intuitivamente: o cubo é totalmente simétrico, então os três momentos principais são iguais.
Passo 7
Produtos de inércia (componentes fora da diagonal): por definição
Mas a função
é ímpar em
ou em
ao integrar nos limites simétricos
, portanto a integral vale zero. O mesmo vale para
e
. Assim todos os produtos de inércia são nulos:
Passo 8
Interpretação final: no sistema com origem no centro de massa e eixos alinhados com as arestas do cubo, o tensor de inércia é diagonal (eixos principais coincidem com as arestas) e tem as três componentes iguais
.