Um cubo homogêneo de densidade \rho, massa M e comprimento do lado b tem um vértice na origem e três lados adjacentes repousando ao longo dos eixos coordenados.
O cubo acima é posto a girar em torno da aresta que coincide com o eixo X_{3}. Determine o vetor momento angular do cubo em relação ao vértice Q e o ângulo que ele faz com o vetor velocidade angular.
Passo 1
O enunciado dá um cubo homogêneo de densidade \rho, massa M e aresta b. Um vértice Q do cubo está na origem e as três arestas adjacentes a Q repousam ao longo dos eixos coordenados x_{1},x_{2},x_{3}. O cubo é colocado para girar em torno da aresta que coincide com o eixo X_{3} (ou seja, em torno de uma reta passando por Q na direção \mathbf{e}_{3}).\n\nAs perguntas são:\n- Determinar o vetor momento angular do cubo em relação ao vértice Q, \mathbf{L}_{Q}.\n- Determinar o ângulo \theta entre \mathbf{L}_{Q} e o vetor velocidade angular \boldsymbol{\omega}.\n\nInformações geométricas usadas (retiradas da figura): o centro de massa O' do cubo está no ponto \left(\tfrac{b}{2},\tfrac{b}{2},\tfrac{b}{2}\right) medido a partir de Q. Vamos chamar o vetor de Q para O' de \mathbf{a}, ou seja \mathbf{a}=\left(\tfrac{b}{2},\tfrac{b}{2},\tfrac{b}{2}\right). Não há outras informações faltando.
Passo 2
Primeiro vamos obter os momentos de inércia em relação ao centro de massa O'. Para um paralelepípedo de arestas b,b,b (cubo) com massa M e origem no centro, o momento de inércia em torno de um dos eixos ligados às arestas (por exemplo eixo x_{1} passando pelo centro) é dado por
I_{O',11}=\int (y^{2}+z^{2})\,dm.
Com densidade uniforme dm=(M/b^{3})\,dV e integrando y,z de -b/2 a b/2 e x também, o resultado padrão é
O momento angular em relação a Q é \mathbf{L}_{Q}=I_{Q}\,\boldsymbol{\omega}. Multiplicando a matriz por \boldsymbol{\omega} obtemos
\mathbf{L}_{Q}=M b^{2}\omega\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{4}\\[4pt]-\tfrac{1}{4}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix} = M b^{2}\omega\Bigl(-\tfrac{1}{4}\mathbf{e}_{1}-\tfrac{1}{4}\mathbf{e}_{2}+\tfrac{2}{3}\mathbf{e}_{3}\Bigr).
Isso mostra que \mathbf{L}_{Q} não é paralelo a \boldsymbol{\omega}: além da componente na direção \mathbf{e}_{3} há componentes nas direções \mathbf{e}_{1} e \mathbf{e}_{2}.]
Passo 7
Agora calculamos o ângulo \theta entre \mathbf{L}_{Q} e \boldsymbol{\omega}. Usamos
Como \boldsymbol{\omega}=\omega\mathbf{e}_{3} e \mathbf{L}_{Q}=M b^{2}\omega(-\tfrac{1}{4},-\tfrac{1}{4},\tfrac{2}{3}), temos o produto escalar
\mathbf{L}_{Q}\cdot\boldsymbol{\omega}= \bigl(M b^{2}\omega\bigr)\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\omega = M b^{2}\omega^{2}\cdot\frac{2}{3}.
O módulo de \mathbf{L}_{Q} é
\|\mathbf{L}_{Q}\|=M b^{2}\omega\sqrt{\Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}} = M b^{2}\omega\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{4}{9}} = M b^{2}\omega\sqrt{\frac{41}{72}}.