Um cubo de lado a possui uma carga pontual q em cada canto. Mostre que a força elétrica resultante sobre qualquer das cargas é dada por
F=0,262 q^2epsilon1 a^2,
na direção da diagonal do cubo e sentido para fora do cubo.

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Temos um cubo de aresta F = 0,262,q^2varepsilon1,a^2, com uma carga pontual em cada vértice. Calcular a força elétrica resultante sobre uma dessas cargas e mostrar que
na direção da diagonal do cubo, para fora.”
Conteúdo: eletrostática básica (Lei de Coulomb) e soma vetorial de forças usando simetria. Vamos precisar de:
  1. Lei de Coulomb: .
  2. Decomposição de vetores e uso da simetria do cubo.

Passo 2

Primeiro, escolha um sistema de coordenadas: coloca a carga-alvo no vértice . Os outros sete vértices ficam em pontos onde cada coordenada é 0 ou , exceto o nosso ponto. As distâncias relevantes são:
  • 3 cargas a (vértices “vizinhos” ao longo dos eixos),
  • 3 cargas a (nos centros das faces diagonais),
  • 1 carga a (o vértice oposto).
    Pela Lei de Coulomb, cada par dá uma força na direção de .

Passo 3

Por simetria, a resultante aponta ao longo da diagonal Fx1 = k,q^2a^2(inteiro em (x)) (isto é, mesma componente em Fx = k,q^2a^2,l(1 + tfrac1raiz2 + tfrac13raiz3r) ). Então basta calcular a componente gerada por todas as cargas que têm coordenada . A mesma expressão valerá para e .
  1. Vértice :
  2. Vértices e (distância ):
    • Magnitude: .
    • Cosseno do ângulo com o eixo : .
    • Cada um dá
      .
    • Como são 2 vértices:
  3. Vértice (distância ):
    • Magnitude:
    • com : .
    • Então
Somando tudo:

Passo 4

Agora a força total |vec F| ;=;raizFx^2+Fy^2+Fz^2 ;=;raiz3;Fx ;=;raiz3;k,q^2a^2,l(1 + tfrac1raiz2 + tfrac13raiz3r) tem , então seu módulo é
Lembrando que e fazendo as contas numéricas em parênteses, obtém-se o fator aproximado 0,262.

Resposta

boxedF=0,262,q^2varepsilon1,a^2,
na direção da diagonal do cubo, apontando para fora.

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