Um cubo de lado
possui uma carga pontual
em cada canto. Mostre que a força elétrica resultante sobre qualquer das cargas é dada por
na direção da diagonal do cubo e sentido para fora do cubo.
Passo 1
Beleza, o exercício diz: “Temos um cubo de aresta
com uma carga pontual
em cada vértice. Calcular a força elétrica resultante sobre uma dessas cargas e mostrar que
na direção da diagonal do cubo, para fora.”
Conteúdo: eletrostática básica (Lei de Coulomb) e soma vetorial de forças usando simetria. Vamos precisar de:
Conteúdo: eletrostática básica (Lei de Coulomb) e soma vetorial de forças usando simetria. Vamos precisar de:
- Lei de Coulomb:
. - Decomposição de vetores e uso da simetria do cubo.
Passo 2
Primeiro, escolha um sistema de coordenadas: coloca a carga-alvo no vértice
. Os outros sete vértices ficam em pontos onde cada coordenada é 0 ou
, exceto o nosso ponto. As distâncias relevantes são:
- 3 cargas a
(vértices “vizinhos” ao longo dos eixos), - 3 cargas a
(nos centros das faces diagonais), - 1 carga a
(o vértice oposto).
Pela Lei de Coulomb, cada par dá uma forçana direção de .
Passo 3
Por simetria, a resultante aponta ao longo da diagonal
(isto é, mesma componente em
). Então basta calcular a componente
gerada por todas as cargas que têm coordenada
. A mesma expressão valerá para
e
.
-
Vértice
: -
Vértices
e (distância ): - Magnitude:
. - Cosseno do ângulo com o eixo
: . - Cada um dá
. - Como são 2 vértices:
- Magnitude:
-
Vértice
(distância ): - Magnitude:
-
com : . - Então
- Magnitude:
Somando tudo:
Passo 4
Agora a força total
tem
, então seu módulo é
Lembrando que
e fazendo as contas numéricas em parênteses, obtém-se o fator aproximado 0,262.
Resposta
na direção da diagonal do cubo, apontando para fora.