Um cubo sólido de 2 unidades de lado é limitado pelos planos x= pm 1, z= pm 1, y=3 e y=5. Encontre o centro de massa desse cubo.

Passo 1

O enunciado descreve um sólido de formato paralelepípedo (um “cubo” de aresta 2) limitado pelos planos
,x=-1, ,x=1, ,y=3, ,y=5, ,z=-1, ,z=1.
Queremos encontrar o centro de massa desse sólido, assumindo densidade uniforme. Para isso usaremos a definição de centro de massa via integrais ou, alternativamente, exploraremos simetria.

Passo 2

Chamando rho a densidade constante, o centro de massa (xcm,ycm,zcm) é dado por
xcm=1MintegralVx,dm, ycm=1MintegralVy,dm, zcm=1MintegralVz,dm,
onde dm=rho,dV e a massa total é
M=integralVdm=rhointegralVdV=rho,V

Passo 3

Calculamos o volume V do paralelepípedo:
V=integralx=-1^1integraly=3^5integralz=-1^1dz,dy,dx =(1-(-1)),(5-3),(1-(-1))=2cdot2cdot2=8
Logo M=rho,8. Nas fórmulas de xcm,ycm,zcm, o fator rho se cancela.

Passo 4

Pelo mesmo motivo de simetria do intervalo [-1,1] para x e para z, as integrais de x e de z sobre essas faixas se anulam. Formalmente, por exemplo,
xcm =18integral-1^1!!integral3^5!!integral-1^1x,dz,dy,dx =18l[integral-1^1x,dxr]l[integral3^5dyr]l[integral-1^1dzr] =0
Análogo dá ,zcm=0.

Passo 5

Para a coordenada ycm fazemos
ycm =18integral-1^1!!integral3^5!!integral-1^1y,dz,dy,dx =18l[integral-1^1dxr]l[integral-1^1dzr]l[integral3^5y,dyr]
Aqui integral-1^1dx=2, integral-1^1dz=2 e
integral3^5y,dy =12l(5^2-3^2r) =12(25-9) =8
Portanto
ycm=18times2times2times8=4

Resposta

O centro de massa do cubo é
(xcm,ycm,zcm)=(0,4,0)

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