Um cubo sólido de 2 unidades de lado é limitado pelos planos
. Encontre o centro de massa desse cubo.
Passo 1
O enunciado descreve um sólido de formato paralelepípedo (um “cubo” de aresta
) limitado pelos planos
,
,
,
,
,
.
Queremos encontrar o centro de massa desse sólido, assumindo densidade uniforme. Para isso usaremos a definição de centro de massa via integrais ou, alternativamente, exploraremos simetria.
Queremos encontrar o centro de massa desse sólido, assumindo densidade uniforme. Para isso usaremos a definição de centro de massa via integrais ou, alternativamente, exploraremos simetria.
Passo 2
Chamando
a densidade constante, o centro de massa
é dado por
onde
e a massa total é
Passo 3
Calculamos o volume
do paralelepípedo:
Logo
. Nas fórmulas de
, o fator
se cancela.
Passo 4
Pelo mesmo motivo de simetria do intervalo
para
e para
, as integrais de
e de
sobre essas faixas se anulam. Formalmente, por exemplo,
Análogo dá
.
Passo 5
Para a coordenada
fazemos
Aqui
,
e
Portanto
Resposta
O centro de massa do cubo é