• Questão 31. Calcule os seguintes limites (usando as regras de L’Hospital)
    lim x 0^+ sen x ln x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0^+sin x;ln x
usando as regras de L’Hospital.
Conte’udo: indetermina\c{c}~oes do tipo 0cdot(-infty) e aplica\c{c}~ao da regra de L’Hospital. Para usar L’Hospital, vamos transformar o produto em quociente, de modo a obter uma indetermina\c{c}~ao infty/infty ou 0/0.

Passo 2

Identificamos que, quando xto0^+,
sin xto0 e ln xto-infty,
portanto sin xln x `e 0cdot(-infty), uma forma indeterminada.
Reescrevemos como quociente:
sin x;ln x = ln x1/sin x
Como xto0^+, o numerador ln xto-infty e o denominador 1/sin xto+infty, temos a forma (-infty)/(+infty), adequada para L’Hospital.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hospital, diferenciando numerador e denominador:
numerador: ddx[ln x]=1x,
denominador: ddxl(1/sin xr) =ddxl((sin x)^-1r) =-(sin x)^-2cos x =-cos xsin^2 x
Ent~ao o quociente derivado `e
1x-cos xsin^2 x =-1x,sin^2 xcos x =-sin^2 xxcos x

Passo 4

Simplificamos a expressão:
-sin^2 xxcos x =-sin xx;sin xcos x =-gl(sin xxgr)tan x

Passo 5

Agora avaliamos o limite quando xto0^+:
sin x/xto1 e tan xto0.
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-gl(sin xxgr)tan x ;longrightarrow;-1cdot0=0

Resposta

limxto0^+sin x;ln x = 0

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