• Questão 31. Calcule os seguintes limites (usando as regras de L’Hospital)
    lim x 1^- e^1x^2-1x-1

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1^-e^1x^2-1x-1
Observe que, ao fazermos xto1^-, temos x^2-1to0^- e portanto e^1/(x^2-1)to0, enquanto x-1to0^-. Logo é uma indeterminação do tipo tfrac00 e podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Derivamos numerador e denominador. No numerador temos e^f(x) com
f(x)=1x^2-1, f'(x)=-2x(x^2-1)^2
Logo
ddxl(e^f(x)r) = f'(x),e^f(x) = -2x(x^2-1)^2,e^1x^2-1,
enquanto
ddx(x-1)=1

Passo 3

Pela regra de L’Hospital,
limxto1^-e^1x^2-1x-1 = limxto1^- ( -2x(x^2-1)^2,e^1x^2-1 )
Novamente, `a medida que xto1^-, tanto e^1/(x^2-1)to0 quanto (x^2-1)^2to0, gerando outra indeterminação tfrac00.

Passo 4

Em vez de aplicar L’Hospital outra vez, usamos equivalência assintótica. Defina h=x-1, com hto0^-. Então
x^2-1 = (x-1)(x+1)=h(2+h)sim2h,
(x^2-1)^2sim4h^2, e^1x^2-1 =e^1h(2+h)sim e^12h
Substituindo em -2x(x^2-1)^2e^1/(x^2-1) e usando xapprox1, obtemos
-2cdot14h^2,e^12h = -12h^2,e^12h

Passo 5

Agora analisamos
limhto0^-gl(-12h^2,e^12hgr)
Como hto0^- implica tfrac12hto-infty, o fator e^1/(2h) decai mais rápido que qualquer potência de h. Logo
e^12hh^2to0,
e assim o limite é 0.

Resposta

0

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