- Questão 31. Calcule os seguintes limites (usando as regras de L’Hospital)
Passo 1
O enunciado pede calcular
Observe que, ao fazermos
, temos
e portanto
, enquanto
. Logo é uma indeterminação do tipo
e podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 2
Derivamos numerador e denominador. No numerador temos
com
Logo
enquanto
Passo 3
Pela regra de L’Hospital,
Novamente, `a medida que
, tanto
quanto
, gerando outra indeterminação
.
Passo 4
Em vez de aplicar L’Hospital outra vez, usamos equivalência assintótica. Defina
, com
. Então
Substituindo em
e usando
, obtemos
Passo 5
Agora analisamos
Como
implica
, o fator
decai mais rápido que qualquer potência de
. Logo
e assim o limite é
.