• Questão 31. Calcule os seguintes limites (usando as regras de L’Hospital)
    lim x +infty(1ln x)^x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+infty(1ln x)^x+1
Isto é um caso de forma indeterminada 0^infty, pois quando xto+infty temos ln xto+infty e, portanto, 1/ln xto0^+, enquanto o expoente x+1to+infty. Para resolver, vamos usar a técnica de tomar logaritmo, de modo a transformar em uma forma em que possamos aplicar limites (e, se necessário, L’Hospital).

Passo 2

Defina
y = l(1ln xr)^x+1
Tomando logaritmo natural,
ln y = (x+1),ln!l(tfrac1ln xr) = -(x+1),ln(ln x)

Passo 3

Vamos estudar o comportamento de ln y quando xto+infty:
ln y = -(x+1),ln(ln x)
Para x grande, ln(ln x)>0 e cresce sem limite, e x+1to+infty. Logo o produto (x+1),ln(ln x) diverge para +infty. Portanto
ln y ;longrightarrow; -infty quando xto+infty

Passo 4

Se ln y to -infty, então
y = e^ln y;longrightarrow; e^-infty = 0
Isto implica
limxto+inftyl(tfrac1ln xr)^x+1 = 0

Resposta

0

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