Esboce o sólido cujo volume é dado pelas integrais triplas iteradas e reescreva a integral como uma integral equivalente de dois modos diferentes:
(b)

Passo 1

O enunciado nos dá o volume de um sólido em coordenadas esféricas
0 <= phi <= pi6, 0 <= theta <= pi2, 0 <= rho <= 3
com integrando rho^2sinphi.
O conteúdo é mudança de variáveis para esféricas e depois reescrever o mesmo volume em coordenadas cilíndricas e cartesianas.

Passo 2

O sólido é a região dentro da esfera de raio 3 centrada na origem, contida no “setor” definido por 0<=theta<=pi/2 (primeiro quadrante em xy) e por 0<=phi<=pi/6 (dentro do cone de semi-ângulo pi/6 em torno do eixo z). Em outras palavras, é o sólido gerado pela interseção
x^2+y^2+z^2<=9, z>=raiz3raizx^2+y^2, x>=0,;y>=0

Passo 3

Coordenadas cilíndricas :
Jacobiando . A condição vem de , e a esfera é . Podemos escolher a ordem assim:
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Passo 4

Coordenadas cartesianas : o domínio em é o quarto de disco de raio (pois para a condição excede a esfera). Assim
O volume é

Resposta

Forma cilíndrica:
Forma cartesiana:

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