Esboce o sólido cujo volume é dado pelas integrais triplas iteradas e reescreva a integral como uma integral equivalente de dois modos diferentes:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá o volume de um sólido em coordenadas esféricas
com integrando
.
O conteúdo é mudança de variáveis para esféricas e depois reescrever o mesmo volume em coordenadas cilíndricas e cartesianas.
O conteúdo é mudança de variáveis para esféricas e depois reescrever o mesmo volume em coordenadas cilíndricas e cartesianas.
Passo 2
O sólido é a região dentro da esfera de raio
centrada na origem, contida no “setor” definido por
(primeiro quadrante em
) e por
(dentro do cone de semi-ângulo
em torno do eixo
). Em outras palavras, é o sólido gerado pela interseção
Passo 3
Coordenadas cilíndricas
:
Jacobiando
. A condição
vem de
, e a esfera é
. Podemos escolher a ordem assim:
Logo
Passo 4
Coordenadas cartesianas
: o domínio em
é o quarto de disco de raio
(pois para
a condição
excede a esfera). Assim
O volume é
Resposta
Forma cilíndrica:
Forma cartesiana: