Um cubo de vidro com volume inicial igual a \mathbf{2 0 00} \mathbf{~ m}^{\mathbf{3}} a temperatura de \mathbf{2 0} \mathbf{~ C} foi aquecido até temperatura de \mathbf{1 2 0}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}. O coeficiente de dilatação linear de vidro ( \boldsymbol{\alpha} ) é igual a \mathbf{0 , 5} \mathbf{~ x 1 0 ^ { - \mathbf { 5 } }}\left({ }^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}^{-\mathbf{1}}\right). Qual é a dilatação volumétrica?

Passo 1

O enunciado nos dá um cubo de vidro com volume inicial V_0 = 2000\\ \mathrm{m^3} à temperatura inicial 20\,^\circ\mathrm{C}, aquecido até 120\,^\circ\mathrm{C}. O coeficiente de dilatação linear do vidro é
\alpha = 0,5 \times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Queremos a dilatação volumétrica \Delta V. O conceito que precisamos é que o coeficiente de dilatação volumétrica \beta de um sólido isotrópico vale aproximadamente
\beta = 3\,\alpha.

Passo 2

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = 120\,^\circ\mathrm{C} - 20\,^\circ\mathrm{C} = 100\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Determinar o coeficiente de dilatação volumétrica \beta:
\beta = 3\,\alpha = 3 \times \bigl(0,5 \times 10^{-5}\bigr)\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} = 1,5 \times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da dilatação volumétrica para pequenas variações de temperatura:
\Delta V = V_0 \,\beta\,\Delta T.
Substituindo os valores:
\Delta V = 2000\\ \mathrm{m^3} \times \bigl(1,5 \times 10^{-5}\bigr)\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} \times 100\,^\circ\mathrm{C} = 3\\ \mathrm{m^3}.

Resposta

A dilatação volumétrica do cubo é de 3\\ \mathrm{m^3}.

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