( 2,5 pontos): Um gás ideal diatômico têm a pressão inicial \mathbf{P}_{1}=2,00 atm, volume inicial \mathbf{V}_{1}= 6,00 \mathrm{~L}, e temperatura T_{1}=600 \mathrm{~K}. O gás sofre uma compressão isotérmica até seu volume ficar igual a 2,00 \mathrm{~L}. Depois o gás se expande a pressão constante até seu volume ficar igual a 6,00 \mathrm{~L}. E através de um resfriamento isocórico retorna ao estado inicial, completando o ciclo.
a) (1,0) Faça um diagrama do ciclo no plano pV , com pressão em atm e o volume em litros. Indique a pressão, o volume e a temperatura em cada vértice.
b) (1,5) Calcule o rendimento de um motor funcionando segundo esse ciclo.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo termodinâmico executado por um gás ideal diatômico que passa por três processos, retornando ao estado inicial. Precisamos:
  1. Desenhar o diagrama no plano pV (com p em atm e V em L), indicando em cada vértice a pressão, o volume e a temperatura.
  2. Calcular o rendimento \eta do motor que executa esse ciclo.
O gás parte do estado 1 com
p_{1}=2,00\;\text{atm},\quad V_{1}=6,00\;\text{L},\quad T_{1}=600\;\text{K},
sofre compressão isotérmica até o volume V_{2}=2,00\;\text{L}, depois expande-se a pressão constante até V_{3}=6,00\;\text{L}, e finalmente resfria-se isocoricamente até voltar a (p_{1},V_{1},T_{1}).

Passo 2

Determinar os estados 2 e 3:
  • Processo 1\to 2 (isotérmico a T_{1}=600\;\text{K}):
p_{2}=\frac{p_{1}V_{1}}{V_{2}} =\frac{2{,}00\cdot6{,}00}{2{,}00} =6{,}00\;\text{atm},\quad T_{2}=T_{1}=600\;\text{K}.
  • Processo 2\to 3 (isobárico a p_{2}=6{,}00\;\text{atm}, expansão de V_{2}=2{,}00\;\text{L} a V_{3}=6{,}00\;\text{L}):
T_{3}=\frac{p_{2}V_{3}}{nR} =T_{2}\,\frac{V_{3}}{V_{2}} =600\cdot\frac{6}{2} =1800\;\text{K}.
  • Processo 3\to 1 (isocórico a V_{3}=6{,}00\;\text{L}, resfriamento de T_{3}=1800\;\text{K} a T_{1}=600\;\text{K}):
p_{3}=p_{2}=6{,}00\;\text{atm},\quad p_{1}=2{,}00\;\text{atm}.

Passo 3

Diagrama pV:
  • Ponto 1: \bigl(V_{1}=6{,}00\;\text{L},\,p_{1}=2{,}00\;\text{atm}\bigr), T_{1}=600\;\text{K}.
  • Ramo 1\to 2: curva isotérmica T=600\;\text{K} de V=6 a 2\;\text{L}, subindo de 2 a 6\;\text{atm}.
  • Ponto 2: \bigl(V_{2}=2{,}00\;\text{L},\,p_{2}=6{,}00\;\text{atm}\bigr), T_{2}=600\;\text{K}.
  • Ramo 2\to 3: linha horizontal (isobárico p=6\;\text{atm}) de V=2 a 6\;\text{L}, subindo de T=600 a 1800\;\text{K}.
  • Ponto 3: \bigl(V_{3}=6{,}00\;\text{L},\,p_{3}=6{,}00\;\text{atm}\bigr), T_{3}=1800\;\text{K}.
  • Ramo 3\to 1: linha vertical (isocórico V=6\;\text{L}) de p=6 a 2\;\text{atm}, resfriando de T=1800 a 600\;\text{K}.

Passo 4

Calcular o número de mols e as trocas de trabalho e calor em cada etapa.
  1. Número de mols a partir de p_{1}V_{1}=nR T_{1}:
n=\frac{p_{1}V_{1}}{R\,T_{1}} =\frac{2{,}00\cdot6{,}00}{0{,}08206\cdot600} \approx0{,}2438\;\text{mol}.
  1. Trabalho na isotérmica 1\to 2 W_{12}, trabalho pelo gás):
W_{12}=nR T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} =0{,}2438\cdot0{,}08206\cdot600\ln\frac{2}{6} \approx-13{,}18\;\text{L\cdotatm}\approx-1336\;\text{J}.
  1. Trabalho no isobárico 2\to 3:
W_{23}=p_{2}(V_{3}-V_{2}) =6{,}00\;(6{,}00-2{,}00) =24{,}0\;\text{L\cdotatm}\approx2431\;\text{J}.
  1. Trabalho no isocórico 3\to 1:
W_{31}=0.
  1. Calor na isotérmica 1\to 2 ( \Delta U=0\implies Q_{12}=W_{12}:
Q_{12}\approx-1336\;\text{J}.
  1. Calor no isobárico 2\to 3 C_{p}=\tfrac{7}{2}R:
Q_{23} =n\,\frac{7}{2}R\,(T_{3}-T_{2}) \approx84{,}0\;\text{L\cdotatm} \approx8509\;\text{J}.
  1. Calor no isocórico 3\to 1 C_{v}=\tfrac{5}{2}R:
Q_{31} =n\,\frac{5}{2}R\,(T_{1}-T_{3}) \approx-60{,}0\;\text{L\cdotatm} \approx-6078\;\text{J}.
  1. Trabalho líquido e calor absorvido:
W_{\text{liq}}=W_{12}+W_{23}+W_{31}\approx-1336+2431+0=1095\;\text{J},
Q_{\text{in}}=Q_{23}\approx8509\;\text{J}.

Passo 5

Rendimento do ciclo \eta:
\eta=\frac{W_{\text{liq}}}{Q_{\text{in}}} =\frac{1095}{8509} \approx0{,}1287 \approx12{,}9\%.

Resposta

O rendimento do ciclo é aproximadamente 12{,}9\%.

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