O cubo 0<x<L, \quad 0<y<L, \quad 0<z<L está mergulhado num líquido com densidade constante \rho. Calcule a força exercida por este líquido sobre a face y=L, supondo que a aceleração da gravidade seja \mathbf{g}=-g \mathbf{k} e que a pressão na origem seja p_{0}.

Passo 1

O enunciado trata de um cubo de aresta L imerso num líquido de densidade constante \rho, colocado de modo que suas faces vão de 0 a L nos eixos x,y,z. A gravidade é \mathbf{g}=-g\,\mathbf{k} e a pressão no ponto (0,0,0) vale p_{0}. Queremos a força total que o líquido exerce sobre a face vertical dada por y=L. Para resolver, vamos usar a equação da estática de fluidos \nabla p=\rho\,\mathbf{g} para achar a distribuição de pressão e depois integrar p\,dA sobre essa face.

Passo 2

Da estática de fluidos em repouso segue
\frac{\partial p}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial p}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho\,g.
Como p=p(z) e p(0)=p_{0}, integramos
\frac{dp}{dz}=-\rho\,g \quad\Longrightarrow\quad p(z)=p_{0}-\rho\,g\,z.

Passo 3

Na face y=L, qualquer ponto tem coordenadas (x,L,z) com 0\le x\le L, 0\le z\le L. O elemento de área é dA=dx\,dz. A pressão aí é p(z)=p_{0}-\rho g z e atua perpendicularmente à face, no sentido de diminuir y, ou seja, na direção -\mathbf{j}. Então o elemento de força é
d\mathbf{F}=-\mathbf{j}\,p(z)\,dA =-\mathbf{j}\bigl(p_{0}-\rho g z\bigr)\,dx\,dz.

Passo 4

Integramos sobre toda a face:
\mathbf{F} =-\mathbf{j}\int_{x=0}^{L}\!\int_{z=0}^{L}\bigl(p_{0}-\rho g z\bigr)\,dz\,dx =-\mathbf{j}\,L\int_{0}^{L}\bigl(p_{0}-\rho g z\bigr)\,dz.
Calculemos o integral em z:
\int_{0}^{L}\bigl(p_{0}-\rho g z\bigr)\,dz =p_{0}L-\rho g\,\frac{L^{2}}{2}.
Multiplicando por L e incluindo o vetor, fica

Resposta

\boxed{ \mathbf{F} =-\mathbf{j}\,\Bigl(p_{0}L^{2}-\tfrac{1}{2}\,\rho\,g\,L^{3}\Bigr). }

Exercícios relacionados