Prove que a equação geral da hidrostática não pode ser satisfeita se \mathbf{g}=-g \mathbf{k}, \rho=x. (note que, aqui, \operatorname{rot}(\rho \mathbf{g}) \neq \mathbf{0} )

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação geral da hidrostática
\nabla p = \rho\,\mathbf g
não admite solução quando
\mathbf g = -g\,\mathbf k,\quad \rho(x,y,z)=x.
O conteúdo que vamos usar é a condição de existência de potencial escalar: se existe uma função p tal que \nabla p=\rho\,\mathbf g, então obrigatoriamente
\nabla\times(\rho\,\mathbf g)=\mathbf0.
Logo, basta mostrar que, nesse caso, \nabla\times(\rho\,\mathbf g)\neq\mathbf0.

Passo 2

Escrevemos o campo vetorial \rho\,\mathbf g. Como \rho=x e \mathbf g=-g\,\mathbf k, temos
\rho\,\mathbf g = x\;(-g\,\mathbf k)= (0,0,-g\,x).

Passo 3

Calculamos o rotor de (0,0,-g\,x). Para um campo \mathbf F=(F_1,F_2,F_3),
\nabla\times\mathbf F =\Bigl(\partial_yF_3-\partial_zF_2,\;\partial_zF_1-\partial_xF_3,\;\partial_xF_2-\partial_yF_1\Bigr).
Aqui F_1=0, F_2=0, F_3=-g\,x. Logo
\nabla\times(\rho\,\mathbf g) =\bigl( \partial_y(-g\,x)-\partial_z0,\; \partial_z0-\partial_x(-g\,x),\; \partial_x0-\partial_y0 \bigr) =(0,\;0-(-g),\;0) =(0,\;g,\;0)\neq(0,0,0).

Passo 4

Como \nabla\times(\rho\,\mathbf g)=(0,g,0)\neq\mathbf0, o campo \rho\,\mathbf g não é conservativo. Portanto não existe função escalar p tal que
\nabla p=\rho\,\mathbf g.
Isto prova que a equação geral da hidrostática não pode ser satisfeita neste caso.

Resposta

Não existe solução p porque
\nabla\times(\rho\,\mathbf g)=(0,g,0)\neq\mathbf0,
violando a condição de integrabilidade \nabla\times\nabla p=\mathbf0.

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