1. Numa P.A., cujo 2^{\underline{\circ}} termo é igual a 5 e o 6^{\underline{\circ}} termo é igual a 13 o 20^{\underline{\circ}} termo é igual a:
    a) 13
    b) 40
    c) 41
    d) 42
    e) 45

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou usar a notação a_n para o n-ésimo termo):
  • a_2 = 5.
  • a_6 = 13.
    O que se pede:
  • Determinar a_{20} (o 20^{\text{º}}º termo) e escolher a alternativa correta entre:
    a) 13
    b) 40
    c) 41
    d) 42
    e) 45

Passo 2

Definição e fórmula principal que vou usar. Numa progressão aritmética (P.A.) cada termo difere do anterior por uma constante chamada razão d. A fórmula do n-ésimo termo é
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde:
  • a_n é o n-ésimo termo,
  • a_1 é o primeiro termo,
  • d é a razão (diferença comum).
Vou explicar: essa fórmula vem do fato de que, partindo de a_1, para chegar em a_n soma-se a razão d exatamente (n-1) vezes.

Passo 3

Escrever as equações usando a fórmula para os termos que conhecemos. Para n=2 e n=6 temos:
a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d = 5,
a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d = 13.
Aqui cada expressão está em função de a_1 e d.

Passo 4

Eliminar a_1 para achar d. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(a_1 + 5d) - (a_1 + d) = 13 - 5.
No lado esquerdo os a_1 se cancelam e sobra 4d. No lado direito 13-5=8. Então:
4d = 8 \quad\Rightarrow\quad d = \frac{8}{4} = 2.
Interpretação: a cada termo a P.A. aumenta em 2.

Passo 5

Uma vez conhecida a razão, encontro a_{20}. Posso usar a fórmula geral com n=20, mas como já sei a_2 é mais rápido escrever:
a_{20} = a_2 + (20-2)d.
Explicando: como a_{20} está 18 posições após a_2, somo 18 vezes a razão a a_2.

Passo 6

Substituir os valores conhecidos e calcular:
a_{20} = 5 + 18\cdot 2 = 5 + 36 = 41.
Verificação opcional: se quiser achar a_1, da equação a_1 + d = 5 com d=2 temos a_1 = 3. Usando a fórmula a_{20} = a_1 + 19d = 3 + 19\cdot 2 = 3 + 38 = 41, que confere.

Resposta

c) 41

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