Pseudomonas sp . tem um tempo de duplicação de
quando cresce em acetato. A constante de saturação usando este substrato é
e o valor de YX/S é
. Suponha que você vai operar um quimiostato (reator contínuo) com uma corrente de alimentação contendo
de acetato. Obtenha:
a) a concentração celular na saída do biorreator quando a taxa de diluição é metade da máxima.
b) a concentração de substrato quando a taxa de diluição é
Dmáx.
c) a taxa de diluição que maximiza a produtividade em células.
d) a produtividade de células a
Dmáx.
Produtividade :
a) a concentração celular na saída do biorreator quando a taxa de diluição é metade da máxima.
b) a concentração de substrato quando a taxa de diluição é
c) a taxa de diluição que maximiza a produtividade em células.
d) a produtividade de células a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
- tempo de duplicação:
. - constante de saturação:
. - rendimento:
. - concentração do alimentador:
. - Modelo de Monod:
. - Produtividade celular:
.
Perguntas:
(a) Encontrar a concentração celular na saída quando
(ou seja
em regime estacionário).
(b) Encontrar a concentração de substrato residual quando
.
(c) Encontrar a taxa de diluição que maximiza a produtividade em células
.
(d) Calcular a produtividade de células quando
.
(a) Encontrar a concentração celular
(b) Encontrar a concentração de substrato residual
(c) Encontrar a taxa de diluição
(d) Calcular a produtividade de células
Passo 2
Calcular
a partir do tempo de duplicação. Explicação: na fase exponencial a relação entre crescimento específico e tempo de duplicação é
. Isolando
tem-se:
Substituindo
:
Comentário prático:
é a maior taxa específica de crescimento possível em condição não limitada.
Passo 3
Equações ao regime estacionário do quimiostato e relações úteis (explicação didática):
- Balanço de biomassa (regime estacionário):
. Para cultura não lavada ( ) temos
Isto significa que, no equilíbrio, a taxa específica de crescimento iguala a taxa de diluição.
- Balanço de substrato (regime estacionário): entrada menos saída menos consumo = 0,
Substituindo
e isolando
obtemos uma relação simples e muito útil:
Interpretação: a concentração de biomassa é diretamente proporcional ao quanto do substrato do alimentador foi consumido (diferença
), com o fator sendo o rendimento
.
Passo 4
Expressar o substrato residual
em função de
usando o modelo de Monod. Partindo de
e da fórmula de Monod:
Resolver para
:
válido para
(caso contrário ocorre washout). Esta fórmula permite calcular o substrato residual para qualquer
abaixo de
.
Passo 5
Resolução do item (a). Dados:
.
Observação útil (propriedade): se
, ao substituir na expressão de
nota-se que o numerador e denominador têm o mesmo fator
e cancelam, levando a
. Vamos mostrar isso:
Colocando
na fórmula de
:
Logo o substrato residual é
.
Agora usar
:
Arredondando razoavelmente:
Passo 6
Resolução do item (b). Dados:
.
Primeiro calcular numericamente
:
Agora usar
. Substituindo números:
Calcule passo a passo:
logo
Resposta do item (b):
Passo 7
Resolução do item (c): taxa de diluição que maximiza a produtividade
.
Primeiro escrever
em função de
usando
e
:
Para encontrar o máximo, derivar em relação a
e igualar a zero. Para simplificar a álgebra (mostro os passos-chave):
defina .
Derivando e igualando a zero (os detalhes algébricos resultam na equação quadrática abaixo) chega-se a:
defina
Derivando e igualando a zero (os detalhes algébricos resultam na equação quadrática abaixo) chega-se a:
Como
deve ser menor que
, escolhemos o sinal menos:
Agora substituir valores numéricos:
Portanto a taxa de diluição que maximiza a produtividade celular é aproximadamente
Comentário prático: este valor fica abaixo de
e tipicamente é próximo, mas não igual, a
; a expressão mostra como
e
determinam o ponto ótimo.
Passo 8
Resolução do item (d): produtividade de células a
.
Já calculamos em Passo 6 que para
temos
. Agora calcular
e depois
.
Biomassa:
Produtividade:
(onde
foi
).
Conclusão numérica do item (d):
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)