Pseudomonas sp . tem um tempo de duplicação de 2,4 \mathrm{~h} quando cresce em acetato. A constante de saturação usando este substrato é 1,3 \mathrm{~g} / \mathrm{L} e o valor de YX/S é 0,46 \mathrm{gX} / \mathrm{gS}. Suponha que você vai operar um quimiostato (reator contínuo) com uma corrente de alimentação contendo 38 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de acetato. Obtenha:
a) a concentração celular na saída do biorreator quando a taxa de diluição é metade da máxima.
b) a concentração de substrato quando a taxa de diluição é 0,8 \cdot Dmáx.
c) a taxa de diluição que maximiza a produtividade em células.
d) a produtividade de células a 0,8 \cdot Dmáx.
Produtividade : \operatorname{Pr}=\mathrm{D}^{*} \mathrm{Cx}
\mu=\frac{\mu_{\max } \cdot C_{s}}{K_{s}+C_{s}} \quad \text { Modelo de monod }

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
  • tempo de duplicação: \;t_d = 2,4\\ \mathrm{h}.
  • constante de saturação: \;K_s = 1,3\\ \mathrm{g/L}.
  • rendimento: \;Y_{X/S} = 0,46\\ \mathrm{gX/gS}.
  • concentração do alimentador: \;S_{in} = 38\\ \mathrm{g/L}.
  • Modelo de Monod: \displaystyle \mu=\frac{\mu_{\max}\,C_s}{K_s + C_s}.
  • Produtividade celular: \displaystyle \mathrm{Pr} = D\cdot C_x.
Perguntas:
(a) Encontrar a concentração celular \;C_x na saída quando \;D = 0{,}5\,D_{\max} (ou seja \;D = 0{,}5\,\mu_{\max} em regime estacionário).
(b) Encontrar a concentração de substrato residual \;C_s quando \;D = 0{,}8\,D_{\max}.
(c) Encontrar a taxa de diluição \;D que maximiza a produtividade em células \mathrm{Pr}.
(d) Calcular a produtividade de células \mathrm{Pr} quando \;D = 0{,}8\,D_{\max}.

Passo 2

Calcular \mu_{\max} a partir do tempo de duplicação. Explicação: na fase exponencial a relação entre crescimento específico e tempo de duplicação é \;t_d = \dfrac{\ln 2}{\mu_{\max}}. Isolando \mu_{\max} tem-se:
\mu_{\max} = \frac{\ln 2}{t_d}.
Substituindo t_d = 2{,}4\\ \mathrm{h}:
\mu_{\max} = \frac{\ln 2}{2{,}4} \approx \frac{0{,}693147}{2{,}4} \approx 0{,}2888\\ \mathrm{h^{-1}}.
Comentário prático: \mu_{\max} é a maior taxa específica de crescimento possível em condição não limitada.

Passo 3

Equações ao regime estacionário do quimiostato e relações úteis (explicação didática):
  • Balanço de biomassa (regime estacionário): \;0 = (\mu - D)\,C_x. Para cultura não lavada ( C_x\neq0) temos
\mu = D.
Isto significa que, no equilíbrio, a taxa específica de crescimento iguala a taxa de diluição.
  • Balanço de substrato (regime estacionário): entrada menos saída menos consumo = 0,
D\,(S_{in} - S) = \frac{1}{Y_{X/S}}\,\mu\,C_x.
Substituindo \mu=D e isolando C_x obtemos uma relação simples e muito útil:
C_x = Y_{X/S}\,(S_{in} - S).
Interpretação: a concentração de biomassa é diretamente proporcional ao quanto do substrato do alimentador foi consumido (diferença S_{in}-S), com o fator sendo o rendimento Y.

Passo 4

Expressar o substrato residual S em função de D usando o modelo de Monod. Partindo de \mu = D e da fórmula de Monod:
D = \frac{\mu_{\max}\,S}{K_s + S}.
Resolver para S:
D\,(K_s + S) = \mu_{\max}\,S \quad\Rightarrow\quad D\,K_s = S(\mu_{\max} - D) \quad\Rightarrow\quad S = \frac{K_s\,D}{\mu_{\max} - D},
válido para \;D < \mu_{\max} (caso contrário ocorre washout). Esta fórmula permite calcular o substrato residual para qualquer \;D abaixo de \mu_{\max}.

Passo 5

Resolução do item (a). Dados: \;D = 0{,}5\,\mu_{\max}.
Observação útil (propriedade): se \;D = 0{,}5\,\mu_{\max}, ao substituir na expressão de S nota-se que o numerador e denominador têm o mesmo fator \mu_{\max}\cdot 0{,}5 e cancelam, levando a S = K_s. Vamos mostrar isso:
Colocando D = 0{,}5\,\mu_{\max} na fórmula de S:
S = \frac{K_s\,(0{,}5\,\mu_{\max})}{\mu_{\max} - 0{,}5\,\mu_{\max}} = \frac{K_s\,(0{,}5\,\mu_{\max})}{0{,}5\,\mu_{\max}} = K_s.
Logo o substrato residual é \;S = K_s = 1{,}3\\ \mathrm{g/L}.
Agora usar C_x = Y_{X/S}\,(S_{in} - S):
C_x = 0{,}46\,(38 - 1{,}3) = 0{,}46\cdot 36{,}7 = 16{,}882\\ \mathrm{gX/L}.
Arredondando razoavelmente: \;C_x \approx 16{,}88\\ \mathrm{gX/L}.

Passo 6

Resolução do item (b). Dados: \;D = 0{,}8\,\mu_{\max}.
Primeiro calcular numericamente \;D:
D = 0{,}8\cdot \mu_{\max} \approx 0{,}8\cdot 0{,}2888 \approx 0{,}2310\\ \mathrm{h^{-1}}.
Agora usar \;S = \dfrac{K_s\,D}{\mu_{\max} - D}. Substituindo números:
S \approx \frac{1{,}3 \cdot 0{,}2310}{0{,}2888 - 0{,}2310}.
Calcule passo a passo:
\text{numerador} \approx 1{,}3\cdot 0{,}2310 \approx 0{,}30036, \quad \text{denominador} \approx 0{,}0578,
logo
S \approx \frac{0{,}30036}{0{,}0578} \approx 5{,}20\\ \mathrm{g/L}.
Resposta do item (b): \;C_s \approx 5{,}20\\ \mathrm{g/L}.

Passo 7

Resolução do item (c): taxa de diluição que maximiza a produtividade \mathrm{Pr} = D\cdot C_x.
Primeiro escrever \mathrm{Pr} em função de D usando C_x = Y_{X/S}(S_{in} - S(D)) e S(D)=\dfrac{K_s D}{\mu_{\max}-D}:
\mathrm{Pr}(D) = D\cdot Y_{X/S}\bigg(S_{in} - \frac{K_s D}{\mu_{\max}-D}\bigg).
Para encontrar o máximo, derivar em relação a D e igualar a zero. Para simplificar a álgebra (mostro os passos-chave):
defina f(D)=\dfrac{1}{Y_{X/S}}\mathrm{Pr}(D)= D\,S_{in} - \dfrac{K_s D^2}{\mu_{\max}-D}.
Derivando e igualando a zero (os detalhes algébricos resultam na equação quadrática abaixo) chega-se a:
D = \mu_{\max}\!\left(1 \pm \sqrt{\frac{K_s}{S_{in} + K_s}}\right).
Como D deve ser menor que \mu_{\max}, escolhemos o sinal menos:
D_{\text{ótimo}} = \mu_{\max}\!\left(1 - \sqrt{\frac{K_s}{S_{in} + K_s}}\right).ó
Agora substituir valores numéricos:
\frac{K_s}{S_{in}+K_s} = \frac{1{,}3}{38 + 1{,}3} = \frac{1{,}3}{39{,}3} \approx 0{,}03308,
\sqrt{\frac{K_s}{S_{in}+K_s}} \approx 0{,}1819,
D_{\text{ótimo}} \approx 0{,}2888\cdot(1 - 0{,}1819) \approx 0{,}2888\cdot 0{,}8181 \approx 0{,}2363\\ \mathrm{h^{-1}}.ó
Portanto a taxa de diluição que maximiza a produtividade celular é aproximadamente \;D \approx 0{,}2363\\ \mathrm{h^{-1}}.
Comentário prático: este valor fica abaixo de \mu_{\max} e tipicamente é próximo, mas não igual, a \mu_{\max}; a expressão mostra como K_s e S_{in} determinam o ponto ótimo.

Passo 8

Resolução do item (d): produtividade de células a \;D = 0{,}8\,\mu_{\max}.
Já calculamos em Passo 6 que para D = 0{,}8\,\mu_{\max} temos S \approx 5{,}20\\ \mathrm{g/L}. Agora calcular C_x e depois \mathrm{Pr}.
Biomassa:
C_x = Y_{X/S}\,(S_{in} - S) \approx 0{,}46\,(38 - 5{,}20) = 0{,}46\cdot 32{,}80 \approx 15{,}09\\ \mathrm{gX/L}.
Produtividade:
\mathrm{Pr} = D\cdot C_x \approx 0{,}2310\\ \mathrm{h^{-1}}\cdot 15{,}09\\ \mathrm{gX/L} \approx 3{,}485\\ \mathrm{gX\,L^{-1}\,h^{-1}}.
(onde D \approx 0{,}2310\\ \mathrm{h^{-1}} foi 0{,}8\mu_{\max}).
Conclusão numérica do item (d): \mathrm{Pr} \approx 3{,}485\\ \mathrm{gX\,L^{-1}\,h^{-1}}.

Resposta

(a) C_x \approx 16{,}88\\ \mathrm{gX/L}
(b) C_s \approx 5{,}20\\ \mathrm{g/L}
(c) D_{\text{ótimo}} \approx 0{,}2363\\ \mathrm{h^{-1}}ó
(d) \mathrm{Pr} \approx 3{,}485\\ \mathrm{gX\,L^{-1}\,h^{-1}}

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