Uma cultura da bactéria Salmonella enteritidis continha, inicialmente, 50 células. Após ter sido introduzida em um caldo de nutrientes, a cultura cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho. Passadas 1,5 hora, a população aumentou para 975 células.
(a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t horas.
(b) Encontre o número de bactérias depois de 3 horas.
(c) Encontre a taxa de crescimento depois de 3 horas.
(d) Depois de quantas horas a população atingirá 250.000 células?

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: inicialmente há 50 células. Depois de 1{,}5 horas a população passa a 975 células.
  • Perguntas:
    (a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t horas.
    (b) Encontre o número de bactérias depois de 3 horas.
    (c) Encontre a taxa de crescimento depois de 3 horas.
    (d) Depois de quantas horas a população atingirá 250.000 células?
  • Informação importante do enunciado (usada na resolução): o crescimento é proporcional ao tamanho da população — isto caracteriza crescimento exponencial com taxa proporcional.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): “crescimento proporcional ao tamanho” significa que a taxa de variação da população é proporcional à própria população. Se chamarmos de P(t) o número de bactérias no tempo t (em horas), então existe uma constante k tal que
\frac{dP}{dt} = k\,P(t).
Aqui \frac{dP}{dt} é a taxa de crescimento instantânea (número de células por hora) e k é a constante de proporcionalidade (taxa relativa, em \text{h}^{-1}). Agora vamos resolver essa equação diferencial simples.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis: escrevemos
\frac{dP}{P} = k\,dt.
Integrando ambos os lados,
\int \frac{dP}{P} = \int k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln P = k t + C,
onde C é uma constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos a forma geral
P(t) = C_1 e^{k t},
onde C_1 = e^{C} é uma constante positiva.

Passo 4

Usando a condição inicial para encontrar C_1: como P(0)=50,
50 = C_1 e^{k\cdot 0} = C_1,
logo C_1 = 50. Portanto a solução fica
P(t) = 50 e^{k t}.
Isto já responde estruturalmente a parte (a) — faltando só determinar k a partir do dado P(1{,}5)=975.

Passo 5

Determinar k usando P(1{,}5)=975. Substituímos na expressão:
975 = 50 e^{k\cdot 1{,}5}.
Isolando o exponencial:
e^{1{,}5 k} = \frac{975}{50} = 19{,}5.
Agora aplicamos logaritmo natural:
1{,}5 k = \ln(19{,}5) \quad\Rightarrow\quad k = \frac{\ln(19{,}5)}{1{,}5} = \frac{2}{3}\ln(19{,}5).
Podemos deixar k nessa forma exata ou calcular uma aproximação numérica. Calculando \ln(19{,}5)\approx 2{,}970415, então
k \approx \frac{2}{3}\cdot 2{,}970415 \approx 1{,}980277\\ \text{h}^{-1}.

Passo 6

Agora escrevemos a expressão final para P(t) (resposta da parte a) em formas exata e numérica:
  • Forma exata:
P(t)=50 \exp\!\bigg(\frac{2}{3}\ln(19{,}5)\,t\bigg).
  • Forma simplificada (usando k):
P(t)=50 e^{k t}\quad\text{com}\quad k=\frac{2}{3}\ln(19{,}5)\approx 1{,}980277.
Essas duas formas são equivalentes; a segunda é mais prática para cálculos numéricos.

Passo 7

Parte (b): número de bactérias depois de 3 horas. Usamos P(t)=50 e^{k t} com t=3. Observe uma ideia prática: como em 1{,}5 h a população foi multiplicada por 19{,}5, em 3 h (que é duas vezes 1{,}5 h) a população será multiplicada por (19{,}5)^2. Assim
P(3)=50\cdot(19{,}5)^2.
Calculando (19{,}5)^2 = 380{,}25, temos
P(3)=50\cdot 380{,}25 = 19\,012{,}5.
Como não podemos ter meia célula na prática, arredondamos se necessário; em termos matemáticos o valor é 19\,012{,}5. Em valor aproximado inteiro: 19\,013 células (arredondando).

Passo 8

Parte (c): taxa de crescimento depois de 3 horas. A fórmula geral para a taxa é \frac{dP}{dt}=k P(t). Então, em t=3,
\left.\frac{dP}{dt}\right|_{t=3} = k \, P(3).
Usando k\approx 1{,}980277 e P(3)=19\,012{,}5,
\left.\frac{dP}{dt}\right|_{t=3} \approx 1{,}980277 \times 19\,012{,}5 \approx 37\,650\\ \text{células por hora}.é
Também podemos escrever exatamente
\left.\frac{dP}{dt}\right|_{t=3} = \frac{2}{3}\ln(19{,}5)\cdot 50\cdot(19{,}5)^2.

Passo 9

Parte (d): resolver P(t)=250{,}000. Começamos da expressão 50 e^{k t}=250{,}000. Isolando:
e^{k t} = \frac{250{,}000}{50} = 5{,}000.
Aplicando o logaritmo natural:
k t = \ln(5{,}000) \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln(5{,}000)}{k}.
Substituindo k=\frac{2}{3}\ln(19{,}5) obtemos também a forma
t = \frac{3}{2}\cdot\frac{\ln(5{,}000)}{\ln(19{,}5)}.
Agora calculamos numericamente: \ln(5{,}000)\approx 8{,}517192 e k\approx 1{,}980277, então
t \approx \frac{8{,}517192}{1{,}980277} \approx 4{,}301\\ \text{horas}.
Ou seja, aproximadamente 4{,}30 horas.

Resposta

(a) P(t)=50\,e^{k t} com k=\dfrac{2}{3}\ln(19{,}5)\approx 1{,}980277.
(b) P(3)=19\,012{,}5 (aprox. 19\,013 células).
(c) \displaystyle\left.\frac{dP}{dt}\right|_{t=3}\approx 37\,650\\ \text{células por hora}.é
(d) t\approx 4{,}301\\ \text{horas} (aprox. 4{,}30 h).

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