Uma população de células de levedura Saccharomyces cerevisiae (uma levedura usada para a fermentação) se desenvolve a uma taxa de crescimento relativa constante de 0,4159 por hora. A população inicial era composta por 3,8 milhões de células. Determine o tamanho da população após 2 horas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo certinho para não nos perdermos):
  • População inicial: \;N_0 = 3{,}8\\ \text{milhões de células} = 3{,}8\times 10^{6}\\ \text{células}õéé.
  • Taxa de crescimento relativa constante: \;r = 0{,}4159\\ \text{h}^{-1}.
  • Tempo decorrido: \;t = 2\\ \text{horas}.
    Pergunta: Determinar o tamanho da população após \;2 horas, ou seja, calcular \;N(2).

Passo 2

Qual modelo usamos e por quê (explicação didática): quando uma população cresce com taxa de crescimento relativa constante \;r, isso significa que a variação instantânea da população é proporcional ao tamanho atual. Matematicamente isso se escreve como uma equação diferencial simples:
\frac{dN}{dt} = r\,N,
onde:
  • \;N(t) é o número de células no tempo \;t,
  • \;r é a taxa relativa de crescimento (por hora),
  • \;t é o tempo (em horas).
Essa equação é muito comum e tem solução padrão: separamos as variáveis e integramos:
\frac{dN}{N} = r\,dt.
Integrando ambos os lados (integração indefinida mais constante de integração):
\int \frac{dN}{N} = \int r\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln N = rt + C,
onde \;C é uma constante. Exponenciando ambos os lados obtemos a forma explícita:
N(t)=Ce^{rt}.
Usando a condição inicial \;N(0)=N_0 vemos que \;C=N_0, então a fórmula final é
N(t)=N_0 e^{rt}.
Pronto — essa é a fórmula que vamos aplicar. Se ficou meio abstrato: pense que cada fração da população se multiplica continuamente à taxa \;r; o resultado é o fator exponencial e^{rt}.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os dados:
N(2)=N_0 e^{r\cdot 2}.
Calcule primeiro o expoente:
r\cdot 2 = 0{,}4159 \times 2 = 0{,}8318.
Agora precisamos de e^{0{,}8318}. Uma forma prática de estimar é decompor:
e^{0{,}8318} = e^{0{,}8}\cdot e^{0{,}0318}.
Usando valores conhecidos/aproximações: \;e^{0{,}8}\approx 2{,}2255409. Para \;e^{0{,}0318} usamos a aproximação da série exponencial até termos quadráticos:
e^{0{,}0318}\approx 1 + 0{,}0318 + \frac{0{,}0318^2}{2} \approx 1 + 0{,}0318 + 0{,}000505 = 1{,}032305.
Multiplicando:
e^{0{,}8318}\approx 2{,}2255409 \times 1{,}032305 \approx 2{,}2974359.
Portanto
e^{0{,}8318}\approx 2{,}2974\quad(\text{arredondando a 4 casas decimais}).

Passo 4

Calcule N(2) multiplicando pelo N_0:
N(2)=3{,}8\times 10^{6}\times 2{,}2974359.
Fazendo a multiplicação passo a passo (para você ver como fazer sem calculadora em prova, pode multiplicar a parte numérica e depois juntar a potência de 10):
3{,}8 \times 2{,}2974359 = 3 \times 2{,}2974359 + 0{,}8 \times 2{,}2974359.
Calcule as parcelas:
3 \times 2{,}2974359 = 6{,}8923077,
0{,}8 \times 2{,}2974359 = 1{,}83794872.
Somando:
6{,}8923077 + 1{,}83794872 = 8{,}73025642.
Agora recolocando a potência de 10:
N(2)\approx 8{,}73025642\times 10^{6}\\ \text{células}.é
Arredondando de forma razoável (por exemplo 3 algarismos significativos na parte significativa):
N(2)\approx 8{,}73\times 10^{6}\\ \text{células}.é

Resposta

8{,}73\times 10^{6}\\ \text{células}é

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