Uma população de células de levedura Saccharomyces cerevisiae (uma levedura usada para a fermentação) se desenvolve a uma taxa de crescimento relativa constante de 0,4159 por hora. A população inicial era composta por 3,8 milhões de células. Determine o tamanho da população após 2 horas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo certinho para não nos perdermos):
- População inicial:
. - Taxa de crescimento relativa constante:
. - Tempo decorrido:
.
Pergunta: Determinar o tamanho da população apóshoras, ou seja, calcular .
Passo 2
Qual modelo usamos e por quê (explicação didática): quando uma população cresce com taxa de crescimento relativa constante
, isso significa que a variação instantânea da população é proporcional ao tamanho atual. Matematicamente isso se escreve como uma equação diferencial simples:
onde:
-
é o número de células no tempo , -
é a taxa relativa de crescimento (por hora), -
é o tempo (em horas).
Essa equação é muito comum e tem solução padrão: separamos as variáveis e integramos:
Integrando ambos os lados (integração indefinida mais constante de integração):
onde
é uma constante. Exponenciando ambos os lados obtemos a forma explícita:
Usando a condição inicial
vemos que
, então a fórmula final é
Pronto — essa é a fórmula que vamos aplicar. Se ficou meio abstrato: pense que cada fração da população se multiplica continuamente à taxa
; o resultado é o fator exponencial
.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os dados:
Calcule primeiro o expoente:
Agora precisamos de
. Uma forma prática de estimar é decompor:
Usando valores conhecidos/aproximações:
. Para
usamos a aproximação da série exponencial até termos quadráticos:
Multiplicando:
Portanto
Passo 4
Calcule
multiplicando pelo
:
Fazendo a multiplicação passo a passo (para você ver como fazer sem calculadora em prova, pode multiplicar a parte numérica e depois juntar a potência de 10):
Calcule as parcelas:
Somando:
Agora recolocando a potência de 10:
Arredondando de forma razoável (por exemplo 3 algarismos significativos na parte significativa):