(a) Se V for o volume de um cubo com aresta de comprimento x e, à medida que o tempo passa, o cubo se expandir, encontre d V / d t em termos de d x / d t.
(b) Se o comprimento da aresta de um cubo cresce a uma taxa de 4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, quão rapidamente cresce o colume do cubo no instante em que a aresta mede 15 cm ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Expressar a taxa de variação do volume do cubo em função da taxa de variação da aresta.
(b) Calcular numericamente essa taxa de variação do volume quando a aresta vale 15 cm e cresce a 4 cm/s.
Informações dadas:
  • O volume do cubo é função do comprimento da aresta x.
  • A aresta x varia com o tempo (ou seja, x=x(t)).
  • No item (b) temos \dfrac{dx}{dt}=4\\ \mathrm{cm/s} e x=15\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Escrevemos a fórmula que relaciona o volume V com a aresta x. Para um cubo:
V = x^3
Aqui V é o volume (em \mathrm{cm}^3 se x estiver em \mathrm{cm}) e x é o comprimento da aresta (em \mathrm{cm}), ambos possivelmente dependentes do tempo t.

Passo 3

Para relacionar as taxas de variação no tempo usamos a regra da cadeia. Explicando com calma: se temos uma quantidade V que depende de x, e x depende do tempo t, isto é V(t)=f(x(t)), então para obter a taxa temporal de V usamos
\frac{dV}{dt} = \frac{df}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Isto significa: primeiro derivamos f em relação a x (tratando x como variável), e depois multiplicamos pelo ritmo de mudança de x no tempo \dfrac{dx}{dt}. Um exemplo simples: se y=u^2 e u=u(t), então \dfrac{dy}{dt}=2u\cdot\dfrac{du}{dt}.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia ao nosso caso com f(x)=x^3. Primeiro derivamos f em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2.
Agora multiplicamos por \dfrac{dx}{dt} para obter a taxa temporal do volume:
\frac{dV}{dt}=3x^2\cdot\frac{dx}{dt}.
Expliquei: \dfrac{dV}{dt} é a rapidez com que o volume muda no tempo, x é a aresta no instante considerado, e \dfrac{dx}{dt} é a rapidez com que a aresta muda.

Passo 5

Agora resolvemos o item (b) substituindo os valores numéricos \dfrac{dx}{dt}=4\\ \mathrm{cm/s} e x=15\\ \mathrm{cm} na fórmula obtida:
\frac{dV}{dt}=3\cdot(15)^2\cdot 4.
Calcule passo a passo: (15)^2=225, então 3\cdot225=675, e 675\cdot4=2700. Portanto
\frac{dV}{dt}=2700\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
Unidades: como V está em \mathrm{cm}^3 e o tempo em \mathrm{s}, a taxa tem unidade \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.

Passo 6

Comentário rápido para te animar: a fórmula \dfrac{dV}{dt}=3x^2\dfrac{dx}{dt} mostra que, mesmo com uma aresta aumentando a uma taxa constante, o volume aumenta cada vez mais rápido conforme x cresce (por causa do fator x^2). Isso é normal — o volume escala com o cubo da aresta.

Resposta

(a) \dfrac{dV}{dt}=3x^2\cdot\dfrac{dx}{dt}
(b) \dfrac{dV}{dt}=2700\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}

Exercícios relacionados