(a) Se
for o volume de um cubo com aresta de comprimento
e, à medida que o tempo passa, o cubo se expandir, encontre
em termos de
.
(b) Se o comprimento da aresta de um cubo cresce a uma taxa de
, quão rapidamente cresce o colume do cubo no instante em que a aresta mede 15 cm ?
(b) Se o comprimento da aresta de um cubo cresce a uma taxa de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Expressar a taxa de variação do volume do cubo em função da taxa de variação da aresta.
(b) Calcular numericamente essa taxa de variação do volume quando a aresta vale cm e cresce a
cm/s.
(a) Expressar a taxa de variação do volume do cubo em função da taxa de variação da aresta.
(b) Calcular numericamente essa taxa de variação do volume quando a aresta vale
Informações dadas:
- O volume do cubo é função do comprimento da aresta
. - A aresta
varia com o tempo (ou seja, ). - No item (b) temos
e .
Passo 2
Escrevemos a fórmula que relaciona o volume
com a aresta
. Para um cubo:
Aqui
é o volume (em
se
estiver em
) e
é o comprimento da aresta (em
), ambos possivelmente dependentes do tempo
.
Passo 3
Para relacionar as taxas de variação no tempo usamos a regra da cadeia. Explicando com calma: se temos uma quantidade
que depende de
, e
depende do tempo
, isto é
, então para obter a taxa temporal de
usamos
Isto significa: primeiro derivamos
em relação a
(tratando
como variável), e depois multiplicamos pelo ritmo de mudança de
no tempo
. Um exemplo simples: se
e
, então
.
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia ao nosso caso com
. Primeiro derivamos
em relação a
:
Agora multiplicamos por
para obter a taxa temporal do volume:
Expliquei:
é a rapidez com que o volume muda no tempo,
é a aresta no instante considerado, e
é a rapidez com que a aresta muda.
Passo 5
Agora resolvemos o item (b) substituindo os valores numéricos
e
na fórmula obtida:
Calcule passo a passo:
, então
, e
. Portanto
Unidades: como
está em
e o tempo em
, a taxa tem unidade
.
Passo 6
Comentário rápido para te animar: a fórmula
mostra que, mesmo com uma aresta aumentando a uma taxa constante, o volume aumenta cada vez mais rápido conforme
cresce (por causa do fator
). Isso é normal — o volume escala com o cubo da aresta.
Resposta
(a)
(b)
(b)