Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{7}-1}{x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{7}-1}{x^{3}-1}.
Informações dadas: a função é a razão entre dois polinômios x^{7}-1 (numerador) e x^{3}-1 (denominador), e o ponto de aproximação é x=1. A tarefa é calcular esse limite e usar a Regra de l’Hôspital quando for apropriado, ou um método mais elementar se houver.

Passo 2

Verificação por substituição direta (teste inicial): substituindo x=1 em cada polinômio obtemos
1^{7}-1=0\qquad\text{e}\qquad 1^{3}-1=0,
portanto a expressão tem a forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso nos diz que não podemos simplesmente substituir; é necessário manipular a expressão ou aplicar um método (por exemplo fatoração ou Regra de l’Hôspital) para resolver a indeterminação.

Passo 3

Apresentação de um método elementar (fatoração de diferença de potências): existe uma fórmula básica muito útil para números reais x e inteiro positivo n:
x^{n}-1=(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\right).
Explicação da fórmula: a soma entre parênteses é uma progressão geométrica finita cujo somatório é \sum_{k=0}^{n-1}x^{k}. A fórmula pode ser demonstrada multiplicando (x-1) por essa soma e observando cancelamentos, mas aqui usaremos o resultado direto porque é padrão e muito prático para limites envolvendo x^{n}-1.

Passo 4

Aplicando a fatoração ao numerador e ao denominador do nosso limite com n=7 e n=3:
x^{7}-1=(x-1)\left(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right),
x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right).
Substituindo essas expressões na fração original obtemos
\frac{x^{7}-1}{x^{3}-1}=\frac{(x-1)\bigl(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)}{(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr)}.

Passo 5

Cancelamento do fator comum: como estamos calculando um limite para x\to 1 e não avaliando exatamente em x=1, podemos cancelar o fator (x-1) (ele é não nulo para x\neq1 nos pontos próximos). Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada
\frac{x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+x+1}.
Agora essa nova função é contínua em x=1, então podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x=1.

Passo 6

Avaliação por substituição da expressão simplificada: colocando x=1 no numerador e no denominador:
\text{numerador} = 1^{6}+1^{5}+1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1 = 7,
\text{denominador} = 1^{2}+1+1 = 3.
Logo o limite vale
\frac{7}{3}.
Comentário didático: em termos gerais, após fatorar x^{n}-1=(x-1)\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}, ao tomar x\to1 cada soma \sum_{k=0}^{n-1}x^{k} tende para n (pois cada termo tende a 1 e há n termos). Aqui isso dá no numerador 7 e no denominador 3.

Passo 7

Verificação alternativa usando a Regra de l’Hôspital (para confirmar): como tínhamos a forma indeterminada \frac{0}{0}, podemos aplicar a Regra de l’Hôspital diferenciando numerador e denominador:
\text{derivada do numerador } = \frac{d}{dx}x^{7}=7x^{6},
\text{derivada do denominador } = \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
Pela Regra de l’Hôspital,
\lim_{x\to 1}\frac{x^{7}-1}{x^{3}-1}=\lim_{x\to 1}\frac{7x^{6}}{3x^{2}}.
Agora substituindo x=1 obtemos
\frac{7\cdot 1^{6}}{3\cdot 1^{2}}=\frac{7}{3},
o mesmo resultado. Observação: a Regra de l’Hôspital é aplicável porque as funções são diferenciáveis numa vizinhança de x=1 (exceto no próprio ponto, que é o caso da indeterminação) e produzem a forma adequada.

Resposta

\dfrac{7}{3}

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