Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações dadas: a função é a razão entre dois polinômios
(numerador) e
(denominador), e o ponto de aproximação é
. A tarefa é calcular esse limite e usar a Regra de l’Hôspital quando for apropriado, ou um método mais elementar se houver.
Passo 2
Verificação por substituição direta (teste inicial): substituindo
em cada polinômio obtemos
portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Isso nos diz que não podemos simplesmente substituir; é necessário manipular a expressão ou aplicar um método (por exemplo fatoração ou Regra de l’Hôspital) para resolver a indeterminação.
Passo 3
Apresentação de um método elementar (fatoração de diferença de potências): existe uma fórmula básica muito útil para números reais
e inteiro positivo
:
Explicação da fórmula: a soma entre parênteses é uma progressão geométrica finita cujo somatório é
. A fórmula pode ser demonstrada multiplicando
por essa soma e observando cancelamentos, mas aqui usaremos o resultado direto porque é padrão e muito prático para limites envolvendo
.
Passo 4
Aplicando a fatoração ao numerador e ao denominador do nosso limite com
e
:
Substituindo essas expressões na fração original obtemos
Passo 5
Cancelamento do fator comum: como estamos calculando um limite para
e não avaliando exatamente em
, podemos cancelar o fator
(ele é não nulo para
nos pontos próximos). Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada
Agora essa nova função é contínua em
, então podemos avaliar o limite simplesmente substituindo
.
Passo 6
Avaliação por substituição da expressão simplificada: colocando
no numerador e no denominador:
Logo o limite vale
Comentário didático: em termos gerais, após fatorar
, ao tomar
cada soma
tende para
(pois cada termo tende a
e há
termos). Aqui isso dá no numerador
e no denominador
.
Passo 7
Verificação alternativa usando a Regra de l’Hôspital (para confirmar): como tínhamos a forma indeterminada
, podemos aplicar a Regra de l’Hôspital diferenciando numerador e denominador:
Pela Regra de l’Hôspital,
Agora substituindo
obtemos
o mesmo resultado. Observação: a Regra de l’Hôspital é aplicável porque as funções são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto no próprio ponto, que é o caso da indeterminação) e produzem a forma adequada.