Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
f(z)=e^{\arcsin \left(z^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(z)=e^{\arcsin\left(z^{2}\right)}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função é uma composição de três funções: a exponencial, a função arco-seno e a potência z^{2}.
  • Queremos a derivada f'(z), e simplificar o resultado sempre que possível.
  • Observação útil (dados do enunciado): o argumento de \arcsin é z^{2}, então para valores reais de z a função \arcsin(z^{2}) está definida quando |z^{2}|\le 1, isto é, quando |z|\le 1. A derivada pode ter restrições adicionais (vamos tratar disso ao final).

Passo 2

Vamos usar o princípio básico para derivar funções compostas: a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia devagar, como numa aulinha rápida.
  • Regra da cadeia (forma geral): se F e G são funções e h(x)=F(G(x)), então
h'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Aqui F' é a derivada de F em relação ao seu argumento e G'(x) é a derivada de G em relação a x. Intuitivamente, você deriva a função externa avaliando-a na função interna e multiplica pela derivada da função interna.
  • No nosso caso temos três níveis de composição: f(z)=\underbrace{e^{(\cdot)}}_{F}\big(\underbrace{\arcsin(\cdot)}_{G}\big(\underbrace{z^{2}}_{H(z)}\big)\big).
    Aplicaremos a regra da cadeia duas vezes: primeiro para combinar F com G, depois para tratar G(H(z)).

Passo 3

Derivada do nível mais interno: H(z)=z^{2}.
  • A regra para potência é: se H(z)=z^{n} com n constante, então H'(z)=n z^{n-1}.
  • Aqui n=2, portanto
H'(z)=\frac{d}{dz}\big(z^{2}\big)=2z.

Passo 4

Derivada do nível do meio: G(u)=\arcsin(u), onde agora u=H(z)=z^{2}.
  • Fórmula conhecida: a derivada de \arcsin(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\big(\arcsin(u)\big)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}},\quad\text{para }|u|<1.
Expliquei o domínio: a raiz aparece no denominador, então precisamos de 1-u^{2}>0 para ter derivada finita (isso dá |u|<1). Se u=\pm 1 o denominador zero causa derivada inexistente (tendendo ao infinito).
  • Aplicando a regra da cadeia para G(H(z))=\arcsin(z^{2}): primeiro compute dG/du em u=z^{2} e multiplique por H'(z). Assim
\frac{d}{dz}\big(\arcsin(z^{2})\big)=\frac{1}{\sqrt{1-(z^{2})^{2}}}\cdot 2z.
  • Simplificando a expressão dentro da raiz: (z^{2})^{2}=z^{4}. Portanto
\frac{d}{dz}\big(\arcsin(z^{2})\big)=\frac{2z}{\sqrt{1-z^{4}}}.

Passo 5

Derivada do nível externo: F(v)=e^{v}, onde v=\arcsin(z^{2}).
  • Regra: a derivada da exponencial é ela mesma em relação ao seu argumento:
\frac{d}{dv}\big(e^{v}\big)=e^{v}.
  • Usando a regra da cadeia novamente para f(z)=e^{\arcsin(z^{2})}=F\big(v(z)\big), temos
f'(z)=F'\big(v(z)\big)\cdot v'(z)=e^{\arcsin(z^{2})}\cdot \frac{d}{dz}\big(\arcsin(z^{2})\big).

Passo 6

Agora substituímos o resultado do Passo 4 em Passo 5 para obter a derivada final:
f'(z)=e^{\arcsin(z^{2})}\cdot \frac{2z}{\sqrt{1-z^{4}}}.
Podemos reescrever de forma mais limpa:
f'(z)=\frac{2z\,e^{\arcsin(z^{2})}}{\sqrt{1-z^{4}}}.

Passo 7

Condições de validade e checagem:
  • A expressão da derivada exige que o denominador seja bem definido e não nulo: \sqrt{1-z^{4}}>0, o que implica |z|<1 para z real. Portanto a fórmula é válida para z reais com |z|<1.
  • Verificação rápida em z=0: substituindo dá f'(0)=\dfrac{2\cdot 0\cdot e^{\arcsin(0)}}{\sqrt{1-0}}=0, que faz sentido (a função tem derivada zero no ponto 0).

Resposta

f'(z)=\frac{2z\,e^{\arcsin(z^{2})}}{\sqrt{1-z^{4}}}

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