Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível. f(z)=e^{\arcsin \left(z^{2}\right)}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(z)=e^{\arcsin\left(z^{2}\right)}.
Informações dadas e o que se pede:
A função é uma composição de três funções: a exponencial, a função arco-seno e a potência z^{2}.
Queremos a derivada f'(z), e simplificar o resultado sempre que possível.
Observação útil (dados do enunciado): o argumento de \arcsin é z^{2}, então para valores reais de z a função \arcsin(z^{2}) está definida quando |z^{2}|\le 1, isto é, quando |z|\le 1. A derivada pode ter restrições adicionais (vamos tratar disso ao final).
Passo 2
Vamos usar o princípio básico para derivar funções compostas: a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia devagar, como numa aulinha rápida.
Regra da cadeia (forma geral): se F e G são funções e h(x)=F(G(x)), então
h'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Aqui F' é a derivada de F em relação ao seu argumento e G'(x) é a derivada de G em relação a x. Intuitivamente, você deriva a função externa avaliando-a na função interna e multiplica pela derivada da função interna.
No nosso caso temos três níveis de composição: f(z)=\underbrace{e^{(\cdot)}}_{F}\big(\underbrace{\arcsin(\cdot)}_{G}\big(\underbrace{z^{2}}_{H(z)}\big)\big).
Aplicaremos a regra da cadeia duas vezes: primeiro para combinar F com G, depois para tratar G(H(z)).
Passo 3
Derivada do nível mais interno: H(z)=z^{2}.
A regra para potência é: se H(z)=z^{n} com n constante, então H'(z)=n z^{n-1}.
Aqui n=2, portanto
H'(z)=\frac{d}{dz}\big(z^{2}\big)=2z.
Passo 4
Derivada do nível do meio: G(u)=\arcsin(u), onde agora u=H(z)=z^{2}.
Fórmula conhecida: a derivada de \arcsin(u) em relação a u é
Expliquei o domínio: a raiz aparece no denominador, então precisamos de 1-u^{2}>0 para ter derivada finita (isso dá |u|<1). Se u=\pm 1 o denominador zero causa derivada inexistente (tendendo ao infinito).
Aplicando a regra da cadeia para G(H(z))=\arcsin(z^{2}): primeiro compute dG/du em u=z^{2} e multiplique por H'(z). Assim
A expressão da derivada exige que o denominador seja bem definido e não nulo: \sqrt{1-z^{4}}>0, o que implica |z|<1 para z real. Portanto a fórmula é válida para z reais com |z|<1.
Verificação rápida em z=0: substituindo dá f'(0)=\dfrac{2\cdot 0\cdot e^{\arcsin(0)}}{\sqrt{1-0}}=0, que faz sentido (a função tem derivada zero no ponto 0).