Uma cultura de bactérias começa com 500 indivíduos e dobra de tamanho a cada meia hora.
a) Quantas bactérias existem após 3 horas?
b) Quantas bactérias existem após t horas?
c) Quantas bactérias existem após 40 minutos?
d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir 100.000 bactérias.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo:
  • Informação inicial: a cultura começa com 500 bactérias (população inicial).
  • Informação sobre o crescimento: a população dobra de tamanho a cada meia hora.
Perguntas:
  • (a) Quantas bactérias existem após 3 horas?
  • (b) Quantas bactérias existem após t horas (fórmula geral)?
  • (c) Quantas bactérias existem após 40 minutos?
  • (d) Traçar o gráfico da função população (instruções para esboçar) e estimar o tempo para a população atingir 100.000 bactérias.

Passo 2

Modelagem matemática do crescimento (explicação didática).
  • Quando um conjunto dobra de tamanho a cada intervalo fixo, isso é crescimento exponencial por etapas. Se a cada intervalo de tempo \Delta t a quantidade é multiplicada por 2, então depois de n desses intervalos a população será
N = N_0 \cdot 2^{n},
onde N_0 é a população inicial e n é o número de intervalos de dobra ocorridos.
  • Aqui o intervalo de dobra é meia hora, ou seja, \Delta t = 0{,}5 horas. Se se mede o tempo em horas por uma variável t, o número de meias-horas (doublings) que ocorreram em t horas é
n=\frac{t}{0{,}5}=2t.
  • Substituindo na fórmula, obtemos a fórmula em função de t:
N(t)=N_0\cdot 2^{2t}.
  • Identificando N_0=500, temos a expressão que vamos usar:
N(t)=500\cdot 2^{2t}.
Observação útil: essa fórmula também pode ser escrita usando exponencial natural. Como 2=e^{\ln 2}, pode-se escrever
N(t)=500\cdot e^{(2\ln 2)\,t},
onde 2\ln 2 é a taxa de crescimento exponencial por hora (isso é opcional, só para compreensão).

Passo 3

Resposta da parte (a) — cálculo passo a passo para t=3 horas.
  • Primeiro calcule o número de meias-horas: n=2t=2\cdot 3=6.
  • Aplicando a fórmula:
N(3)=500\cdot 2^{6}.
  • Calcule 2^{6}: 2^{6}=64.
  • Multiplicando:
N(3)=500\cdot 64=32\,000.
Portanto, após 3 horas há 32\,000 bactérias.

Passo 4

Resposta da parte (b) — explicação da fórmula geral (didática).
  • Já derivamos a fórmula geral usando o número de doublings. Repetindo claramente:
N(t)=500\cdot 2^{2t},
onde
  • N(t) é o número de bactérias após t horas,
  • 500 é a população inicial,
  • 2^{2t} representa o fator de crescimento: o expoente 2t é o número de meias-horas decorridas em t horas.
  • Alternativa equivalente (mesma função, escrita com e):
N(t)=500\cdot e^{(2\ln 2)\,t}.
Ambas são a mesma função; a primeira é prática quando se fala em dobrar.

Passo 5

Resposta da parte (c) — 40 minutos em horas e cálculo.
  • Converter 40 minutos para horas: 40 minutos =\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3} horas.
  • Número de meias-horas em t=\dfrac{2}{3} h: n=2t=2\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}.
  • Aplicando a fórmula:
N\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=500\cdot 2^{4/3}.
  • Podemos expressar exatamente como 500\cdot 2^{4/3}. Para valor aproximado, calcule 2^{4/3}. Usando 2^{4/3}\approx 2{,}51984,
N\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx 500\cdot 2{,}51984 \approx 1\,259{,}92.
  • Como são indivíduos inteiros, faz sentido arredondar para 1\,260 bactérias (aproximação para o inteiro mais próximo).

Passo 6

Parte (d) — como traçar o gráfico e estimativa do tempo para atingir 100{,}000.
  1. Como esboçar o gráfico (passo a passo prático):
  • Desenhe um sistema de eixos: eixo horizontal com tempo t em horas e eixo vertical com população N.
  • Marque pontos-chave (calculei pegando valores da fórmula; todos abaixo estão obtidos usando N(t)=500\cdot 2^{2t}):
    • t=0: N(0)=500\cdot 2^{0}=500.
    • t=0{,}5: N(0{,}5)=500\cdot 2^{1}=1\,000.
    • t=1: N(1)=500\cdot 2^{2}=2\,000.
    • t=2: N(2)=500\cdot 2^{4}=8\,000.
    • t=3: N(3)=32\,000 (já calculado).
    • t=4: N(4)=500\cdot 2^{8}=500\cdot 256=128\,000.
  • Ligue esses pontos com uma curva suave crescente que fica cada vez mais inclinada (curva exponencial convexa). O crescimento é lento no início e muito rápido depois; entre t=3 e t=4 a curva cruza a linha horizontal N=100{,}000.
  1. Estimar o tempo para N=100{,}000 (resolução com logaritmo, explicada passo a passo):
  • Queremos resolver a equação
500\cdot 2^{2t}=100{,}000.
  • Isolar a potência:
2^{2t}=\frac{100{,}000}{500}=200.
  • Para achar t tomamos logaritmo (usar log natural ou log base 2; explico com natural). Tomando \ln dos dois lados:
2t=\ln(200)\big/\ln(2)=\log_{2}(200).
  • Assim
t=\frac{1}{2}\log_{2}(200).
  • Valor numérico: calcule \log_{2}(200)=\dfrac{\ln(200)}{\ln 2}. Usando aproximações:
    • \ln(200)\approx 5{,}298317,
    • \ln 2\approx 0{,}693147,
    • \log_{2}(200)\approx 7{,}643856.
  • Portanto
t\approx \frac{1}{2}\cdot 7{,}643856\approx 3{,}821928\\ \text{horas}.
  • Converter a parte decimal de horas para minutos e segundos:
    • A parte inteira é 3 horas.
    • A parte decimal 0{,}821928 horas em minutos: 0{,}821928\cdot 60\approx 49{,}3157 minutos.
    • A parte decimal dos minutos 0{,}3157 em segundos: 0{,}3157\cdot 60\approx 18{,}94 segundos.
  • Logo tempo aproximado é 3 horas 49 minutos e 19 segundos (arredondando).
  • Observação intuitiva: isso bate com a tabela de pontos porque em t=3 32{,}000 e em t=4 128{,}000; 100{,}000 fica entre esses dois, mais próximo de 4 horas, e o cálculo refinado deu \approx 3{,}822 horas.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo (curto):
  • Fórmula central: \;N(t)=500\cdot 2^{2t}\;.
  • A interpretação prática: cada meia hora multiplica a população por 2. Vai ficar tudo certo na prova — use a fórmula, marque pontos e, para perguntas de tempo inverso (quando atinge X), use logaritmo do lado direito dividido por \ln 2. Eu acredito em você — respira fundo e pratica alguns exemplos parecidos.

Resposta

(a) 32\,000
(b) N(t)=500\cdot 2^{2t} (equivalente: N(t)=500\cdot e^{(2\ln 2)\,t})
(c) 500\cdot 2^{4/3}\approx 1\,260
(d) Tempo para 100{,}000 bactérias: t\approx 3{,}821928\\ \text{h}\approx 3\\ \text{h}\\\ 49\\ \text{min}\\\ 19\\ \text{s}

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