Uma cultura de bactérias começa com 500 indivíduos e dobra de tamanho a cada meia hora.
a) Quantas bactérias existem após 3 horas?
b) Quantas bactérias existem após
horas?
c) Quantas bactérias existem após 40 minutos?
d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir 100.000 bactérias.
a) Quantas bactérias existem após 3 horas?
b) Quantas bactérias existem após
c) Quantas bactérias existem após 40 minutos?
d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir 100.000 bactérias.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo:
- Informação inicial: a cultura começa com
bactérias (população inicial). - Informação sobre o crescimento: a população dobra de tamanho a cada meia hora.
Perguntas:
- (a) Quantas bactérias existem após
horas? - (b) Quantas bactérias existem após
horas (fórmula geral)? - (c) Quantas bactérias existem após
minutos? - (d) Traçar o gráfico da função população (instruções para esboçar) e estimar o tempo para a população atingir
bactérias.
Passo 2
Modelagem matemática do crescimento (explicação didática).
- Quando um conjunto dobra de tamanho a cada intervalo fixo, isso é crescimento exponencial por etapas. Se a cada intervalo de tempo
a quantidade é multiplicada por , então depois de desses intervalos a população será
onde
é a população inicial e
é o número de intervalos de dobra ocorridos.
- Aqui o intervalo de dobra é meia hora, ou seja,
horas. Se se mede o tempo em horas por uma variável , o número de meias-horas (doublings) que ocorreram em horas é
- Substituindo na fórmula, obtemos a fórmula em função de
:
- Identificando
, temos a expressão que vamos usar:
Observação útil: essa fórmula também pode ser escrita usando exponencial natural. Como
, pode-se escrever
onde
é a taxa de crescimento exponencial por hora (isso é opcional, só para compreensão).
Passo 3
Resposta da parte (a) — cálculo passo a passo para
horas.
- Primeiro calcule o número de meias-horas:
. - Aplicando a fórmula:
- Calcule
: . - Multiplicando:
Portanto, após
horas há
bactérias.
Passo 4
Resposta da parte (b) — explicação da fórmula geral (didática).
- Já derivamos a fórmula geral usando o número de doublings. Repetindo claramente:
onde
-
é o número de bactérias após horas, -
é a população inicial, -
representa o fator de crescimento: o expoente é o número de meias-horas decorridas em horas. - Alternativa equivalente (mesma função, escrita com
):
Ambas são a mesma função; a primeira é prática quando se fala em dobrar.
Passo 5
Resposta da parte (c) —
minutos em horas e cálculo.
- Converter
minutos para horas: minutos horas. - Número de meias-horas em
h: . - Aplicando a fórmula:
- Podemos expressar exatamente como
. Para valor aproximado, calcule . Usando ,
- Como são indivíduos inteiros, faz sentido arredondar para
bactérias (aproximação para o inteiro mais próximo).
Passo 6
Parte (d) — como traçar o gráfico e estimativa do tempo para atingir
.
- Como esboçar o gráfico (passo a passo prático):
- Desenhe um sistema de eixos: eixo horizontal com tempo
em horas e eixo vertical com população . - Marque pontos-chave (calculei pegando valores da fórmula; todos abaixo estão obtidos usando
): -
: . -
: . -
: . -
: . -
: (já calculado). -
: .
-
- Ligue esses pontos com uma curva suave crescente que fica cada vez mais inclinada (curva exponencial convexa). O crescimento é lento no início e muito rápido depois; entre
e a curva cruza a linha horizontal .
- Estimar o tempo para
(resolução com logaritmo, explicada passo a passo):
- Queremos resolver a equação
- Isolar a potência:
- Para achar
tomamos logaritmo (usar log natural ou log base ; explico com natural). Tomando dos dois lados:
- Assim
- Valor numérico: calcule
. Usando aproximações: -
, -
, -
.
-
- Portanto
- Converter a parte decimal de horas para minutos e segundos:
- A parte inteira é
horas. - A parte decimal
horas em minutos: minutos. - A parte decimal dos minutos
em segundos: segundos.
- A parte inteira é
- Logo tempo aproximado é
horas minutos e segundos (arredondando). - Observação intuitiva: isso bate com a tabela de pontos porque em
há e em há ; fica entre esses dois, mais próximo de horas, e o cálculo refinado deu horas.
Passo 7
Resumo rápido e incentivo (curto):
- Fórmula central:
. - A interpretação prática: cada meia hora multiplica a população por
. Vai ficar tudo certo na prova — use a fórmula, marque pontos e, para perguntas de tempo inverso (quando atinge X), use logaritmo do lado direito dividido por . Eu acredito em você — respira fundo e pratica alguns exemplos parecidos.
Resposta
(a)
(b) (equivalente:
)
(c)
(d) Tempo para bactérias:
(b)
(c)
(d) Tempo para