Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fim de 10 min , cresceu 3 \%.
(a) Quanto tempo levará a cultura para duplicar?
R. t=\frac{\ln 2}{k}
(b) Determine a constante de proporcionalidade.
R. k=\frac{1}{10} \ln \left(\frac{103}{100}\right)

Passo 1

O enunciado diz que a cultura de bactérias obedece ao modelo de crescimento exponencial, isto é, a taxa de crescimento é proporcional à quantidade presente. Em termos matemáticos temos a equação diferencial
\frac{dN}{dt} = k\,N,
onde N(t) é a população no tempo t e k é a constante de proporcionalidade. O dado é que, após 10 min, a população cresce 3\%, ou seja,
N(10) = 1,03\,N(0).

Passo 2

Para resolver a equação diferencial, separamos variáveis e integramos:
\frac{dN}{N} = k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \int_{N(0)}^{N(t)}\frac{dN}{N} = \int_{0}^{t}k\,dt
\ln\bigl(N(t)\bigr)-\ln\bigl(N(0)\bigr) = k\,t \quad\Longrightarrow\quad N(t) = N(0)\,e^{k t}.

Passo 3

Para achar o tempo de duplicação t_d, impomos
N(t_d) = 2\,N(0).
Substituindo na solução,
2\,N(0) = N(0)\,e^{k\,t_d} \quad\Longrightarrow\quad e^{k\,t_d} = 2 \quad\Longrightarrow\quad t_d = \frac{\ln 2}{k}.

Passo 4

Usando o dado N(10)=1,03\,N(0), temos
1,03\,N(0) = N(0)\,e^{10k} \quad\Longrightarrow\quad e^{10k} = 1,03 \quad\Longrightarrow\quad 10k = \ln(1,03) \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{1}{10}\,\ln\bigl(1,03\bigr) = \frac{1}{10}\,\ln\!\Bigl(\frac{103}{100}\Bigr).

Resposta

(a) \displaystyle t = \frac{\ln 2}{k}.
(b) \displaystyle k = \frac{1}{10}\,\ln\!\Bigl(\frac{103}{100}\Bigr).

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