Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fim de 10 min , cresceu
.
(a) Quanto tempo levará a cultura para duplicar?
R.
(b) Determine a constante de proporcionalidade.
R.
(a) Quanto tempo levará a cultura para duplicar?
R.
(b) Determine a constante de proporcionalidade.
R.
Passo 1
O enunciado diz que a cultura de bactérias obedece ao modelo de crescimento exponencial, isto é, a taxa de crescimento é proporcional à quantidade presente. Em termos matemáticos temos a equação diferencial
onde
é a população no tempo
e
é a constante de proporcionalidade. O dado é que, após
min, a população cresce
, ou seja,
Passo 2
Para resolver a equação diferencial, separamos variáveis e integramos:
Passo 3
Para achar o tempo de duplicação
, impomos
Substituindo na solução,
Passo 4
Usando o dado
, temos
Resposta
(a)
(b)
(b)