(FPS-PE) Uma xícara de café, a uma temperatura de 90^{\circ} \mathrm{C}, é colocada em um freezer, a 0^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura do café decresce exponencialmente, de tal modo que, depois de 5 minutos, a temperatura é de 30^{\circ} \mathrm{C}. Qual a temperatura do café, depois de 10 minutos?
a) 10^{\circ} \mathrm{C}
b) 18^{\circ} \mathrm{C}
c) 16^{\circ} \mathrm{C}
d) 14^{\circ} \mathrm{C}
e) 12^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura do café decresce exponencialmente até o ambiente a 0^\circ\mathrm{C}. Isso é um caso clássico de decaimento exponencial (ou Lei de Newton do resfriamento quando o ambiente fica a zero). Para resolver, vamos usar o modelo
T(t)=T_0\,e^{k t},
onde T_0 é a temperatura inicial do café e k é a constante de decaimento.

Passo 2

Entendendo as condições do problema: no instante t=0 minutos, T(0)=90^\circ\mathrm{C}. Logo o modelo fica
T(t)=90\,e^{k t}.

Passo 3

Usamos a informação de que em t=5 minutos a temperatura é 30^\circ\mathrm{C}. Assim,
90\,e^{5k}=30 \quad\Longrightarrow\quad e^{5k}=\frac{30}{90}=\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{5}\ln\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 4

Agora calculamos T(10):
T(10)=90\,e^{10k} =90\bigl(e^{5k}\bigr)^{2} =90\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{2} =90\cdot\frac{1}{9} =10.
Logo, T(10)=10^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) 10^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados