Com relação ao problema de valor inicial y^prime-y=t, y(0)=4; é correto afirmar que o fator integrante mu(t) e a solução y(t) são respectivamente: mu(t)=e^-t ; y(t)=-t-1+5 e^-t.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' - y = t, y(0)=4
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O método utilizado será o fator integrante para resolver equações do tipo
y' + p(t),y = g(t)

Passo 2

Identificamos p(t)=-1. O fator integrante é
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral -1,dtr) = e^-t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t):
e^-ty' - e^-ty = t,e^-t
O lado esquerdo é a derivada do produto y,e^-t, pois
ddtl(y,e^-tr) = y',e^-t + y,(-e^-t) = e^-ty' - e^-ty
Logo,
ddtl(y,e^-tr) = t,e^-t

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
y,e^-t = integral t,e^-t,dt + C
Fazendo integração por partes em integral t,e^-tdt, com u=t, dv=e^-tdt, obtém-se
integral t,e^-tdt = -t,e^-t - e^-t + K,
portanto
y,e^-t = -t,e^-t - e^-t + C Longrightarrow y = -t - 1 + C,e^t

Passo 5

Usamos y(0)=4:
4 = -0 -1 + Ccdot e^0 Longrightarrow 4 = -1 + C Longrightarrow C = 5
Logo a solução é
y(t) = -t - 1 + 5,e^t

Resposta

A afirmação dada está incorreta: o fator integrante está certo, mu(t)=e^-t, mas a solução correta é
y(t) = -t - 1 + 5,e^t

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