Um cultura de bactérias possuia inicialmente uma quantidade
de bactérias. Após uma hora o número de bactérias é de
. Se a razão de crescimento é proporcional ao número de bactérias
presente em um tempo
, é correto afirmar que a equação que descreve este fenômeno, bem como a constante de proporcionalidade (
), e o tempo
necessário para que o número de bactérias triplique são respectivamente:
.
Passo 1
O enunciado descreve um crescimento de bactérias cujo ritmo de variação é proporcional ao tamanho da população, ou seja, temos um modelo de crescimento exponencial. A equação diferencial é
onde
é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar a partir da condição
. Depois vamos achar o tempo
tal que
.
Passo 2
A solução geral do modelo exponencial é
Impondo a condição para
, temos
e, dividindo por
, obtemos
Passo 3
Para achar o tempo
em que a cultura triplica, impomos
e então
Resposta
A equação é
com