Um cultura de bactérias possuia inicialmente uma quantidade Q0 de bactérias. Após uma hora o número de bactérias é de 3 Q0 / 2. Se a razão de crescimento é proporcional ao número de bactérias Q(t) presente em um tempo t, é correto afirmar que a equação que descreve este fenômeno, bem como a constante de proporcionalidade ( r ), e o tempo t0 necessário para que o número de bactérias triplique são respectivamente: Q^prime(t)=r Q(t), Q(0)=Q0 ; r=ln (3 / 2) ; t0=ln (3) / r.

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento de bactérias cujo ritmo de variação é proporcional ao tamanho da população, ou seja, temos um modelo de crescimento exponencial. A equação diferencial é
Q'(t)=r,Q(t), Q(0)=Q0,
onde r é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar a partir da condição Q(1)=tfrac32Q0. Depois vamos achar o tempo t0 tal que Q(t0)=3Q0.

Passo 2

A solução geral do modelo exponencial é
Q(t)=Q0e^rt
Impondo a condição para t=1, temos
Q(1)=Q0e^r= tfrac32Q0
e, dividindo por Q0, obtemos
e^r=tfrac32 Longrightarrow r = lnl(tfrac32r)

Passo 3

Para achar o tempo t0 em que a cultura triplica, impomos
Q(t0)=Q0e^r,t0=3Q0 Longrightarrow e^r,t0=3 Longrightarrow r,t0=ln(3)
e então
t0=ln(3)r

Resposta

A equação é
Q'(t)=r,Q(t), Q(0)=Q0,
com
r=lnl(tfrac32r), t0=ln(3)r

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