Determine uma função
tal que
e em seguida calcule a integral de linha
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente com gradientes e integrais de linha. Primeiro, a gente vai encontrar uma função
tal que o vetor
seja o gradiente dessa função (
). Depois, vamos calcular a integral de linha
ao longo do trajeto definido por
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função
tal que
. Lembra que o gradiente de
é dado por:
Comparando com
, temos:
Vamos integrar cada uma dessas derivadas parciais para encontrar
.
Passo 3
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar
para encontrar
:
Como
não depende de
, temos:
Isso significa que
não depende de
, então
, onde
é uma função de
.
Passo 5
Agora, usamos
para encontrar
:
Comparando os dois lados, vemos que:
Portanto,
é uma constante. Vamos chamar de
.
Passo 6
Assim, a função
é:
Podemos desprezar a constante
para simplificar.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de linha
. Como
, a integral de linha de um gradiente é simplesmente a diferença dos valores de
nos pontos final e inicial da curva
.
Passo 8
Vamos encontrar os pontos inicial e final de
para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Agora, calculamos
nesses pontos:
- Em
:
- Em
:
Resposta
A integral de linha é igual a 5.