Determine uma função f tal que F=nabla f e em seguida calcule a integral de linha integralalpha F cdot d alpha, onde F(x, y, z)=(y^2 z+2 x z^2, 2 x y z, x y^2+2 x^2 z) e alpha(t)=(raizt, t+1, t^2) com t in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente com gradientes e integrais de linha. Primeiro, a gente vai encontrar uma função f tal que o vetor F seja o gradiente dessa função ( F = nabla f ). Depois, vamos calcular a integral de linha integralalpha F cdot dalpha ao longo do trajeto definido por alpha(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função f tal que F = nabla f . Lembra que o gradiente de f é dado por:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Comparando com F(x, y, z) = (y^2 z + 2 x z^2, 2 x y z, x y^2 + 2 x^2 z) , temos:
partial fpartial x = y^2 z + 2 x z^2
partial fpartial y = 2 x y z
partial fpartial z = x y^2 + 2 x^2 z
Vamos integrar cada uma dessas derivadas parciais para encontrar f .

Passo 3

Vamos começar integrando partial fpartial x em relação a x :
f(x, y, z) = integral (y^2 z + 2 x z^2) , dx = y^2 z x + x^2 z^2 + g(y, z)
Aqui, g(y, z) é uma função que pode depender de y e z .

Passo 4

Agora, vamos usar partial fpartial y = 2 x y z para encontrar g(y, z) :
partial fpartial y = y^2 z cdot partial xpartial y + partial gpartial y = 2 x y z
Como x não depende de y , temos:
partial gpartial y = 0
Isso significa que g não depende de y , então g(y, z) = h(z) , onde h(z) é uma função de z .

Passo 5

Agora, usamos partial fpartial z = x y^2 + 2 x^2 z para encontrar h(z) :
partial fpartial z = y^2 x + 2 x^2 z + dhdz = x y^2 + 2 x^2 z
Comparando os dois lados, vemos que:
dhdz = 0
Portanto, h(z) é uma constante. Vamos chamar de C .

Passo 6

Assim, a função f é:
f(x, y, z) = y^2 z x + x^2 z^2 + C
Podemos desprezar a constante C para simplificar.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha integralalpha F cdot dalpha . Como F = nabla f , a integral de linha de um gradiente é simplesmente a diferença dos valores de f nos pontos final e inicial da curva alpha(t) .

Passo 8

Vamos encontrar os pontos inicial e final de alpha(t) = (raizt, t+1, t^2) para t in [0, 1] :
  • Para t = 0 :
alpha(0) = (0, 1, 0)
  • Para t = 1 :
alpha(1) = (1, 2, 1)

Passo 9

Agora, calculamos f nesses pontos:
  • Em (0, 1, 0) :
f(0, 1, 0) = (1)^2 cdot 0 cdot 0 + 0^2 cdot 0^2 = 0
  • Em (1, 2, 1) :
f(1, 2, 1) = (2)^2 cdot 1 cdot 1 + 1^2 cdot 1^2 = 4 + 1 = 5

Resposta

A integral de linha é igual a 5.

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