Sobre a equação (e^2 y-y cos (x y)) d x+(2 x e^2 y-x cos (x y)-2 y) d y=0; é correto afirmar que: nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(e^2y-ycos(xy)r),dx ;+;l(2x e^2y-xcos(xy)-2yr),dy=0
e pede identificar sua natureza (exata, íntegro-fator etc.) e, em seguida, resolver. Vamos primeiro verificar se é exata, pois isso nos dará o caminho para encontrar a solução implícita.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=e^2y-ycos(xy), N(x,y)=2x e^2y-xcos(xy)-2y
Calculamos
partial Mpartial y =2e^2y-cos(xy)+xysin(xy),
partial Npartial x =2e^2y-cos(xy)+xysin(xy)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
Phix = M Longrightarrow Phi(x,y)=integral M,dx =integrall(e^2y-ycos(xy)r),dx =x,e^2y-sin(xy)+H(y),
onde H(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar H(y), derivamos Phi em relação a y e igualamos a N:
Phiy =2x e^2y-xcos(xy)+H'(y) ;stackrel!=; 2x e^2y-xcos(xy)-2y ;Longrightarrow; H'(y)=-2y ;Longrightarrow; H(y)=-y^2

Passo 5

Portanto a função potencial completa é
Phi(x,y)=x,e^2y-sin(xy)-y^2,
e a solução geral implícita da equação diferencial exata é
boxedx,e^2y-sin(xy)-y^2=C

Resposta

Nenhuma das demais alternativas.

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