Com relação ao problema de valor inicial y^prime-y=t, y(0)=4; é correto afirmar que o fator integrante mu(t) e a solução y(t) são respectivamente: mu(t)=e^-t ; y(t)=t+5-e^t.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' - y = t, y(0)=4,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Precisamos encontrar o fator integrante mu(t) e depois resolver para y(t).

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão
y' + p(t),y = g(t),
comparando com y' - y = t vemos que p(t) = -1 e g(t)=t. O fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral -1,dt = e^-t

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t)=e^-t obtemos
e^-ty' - e^-ty = t,e^-t
O lado esquerdo é a derivada do produto e^-ty, ou seja
ddtl(e^-tyr) = t,e^-t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(e^-tyr),dt = integral t,e^-t,dt
Pelo método de integração por partes em integral t,e^-t,dt temos
integral t,e^-t,dt = -t,e^-t - e^-t + C,
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e^-ty = -t,e^-t - e^-t + C Longrightarrow y = -t - 1 + C,e^t

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=4:
4 = y(0) = -0 - 1 + Ccdot e^0 = -1 + C Longrightarrow C = 5
Assim a solução particular é
y(t) = -t - 1 + 5,e^t = 5,e^t - t - 1

Resposta

mu(t)=e^-t
y(t)=5,e^t-t-1

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