Uma cultura, inicialmente com 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Suponha que a fórmula da população de bactérias, após t horas, é dado por P(t)=100 cdot(e)^3 t. Determine:
a) Qual a população desta cultura após 5 horas do instante inicial?
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 6500 bactérias?

Passo 1

O enunciado dá a lei de crescimento exponencial da população de bactérias
P(t)=100cdot e^3t
com P em número de bactérias e t em horas. Precisamos:
– (a) calcular P(5);
– (b) achar t tal que P(t)=6500, usando logaritmo natural.

Passo 2

Ao substituir t=5 na expressão de P(t), temos:
P(5)=100cdot e^3cdot5=100,e^15
Em valores aproximados, como e^15approx3,269times10^6,
P(5)approx100times3,269times10^6=3,269times10^8 bactérias é

Passo 3

Para encontrar t tal que P(t)=6500, igualamos e resolvemos:
100,e^3t=6500Longrightarrow e^3t=65Longrightarrow3t=ln(65)Longrightarrow t=ln(65)3
Como ln(65)approx4,174,
tapprox4,1743approx1,39 horas

Resposta

(a) P(5)=100,e^15approx3,269times10^8 bactérias.
(b) t=dfracln(65)3approx1,39 horas.

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