Em uma cultura, há inicialmente x0 bactérias. Uma hora depois, t=1, o número de bactérias passa a ser 32x0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique, sabendo que a equação de crescimento é dada por: Escolha uma opção:
a. T≅2,180 anos
b. T≅2,710 anos
c. T≅1,310 anos
d. T≅1,210 anos
e. T≅5,240 anos

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o crescimento de bactérias em uma cultura. Inicialmente, temos $ x_0 $ bactérias, e depois de uma hora, temos $ 32x_0 $. A taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes. Vamos usar isso para descobrir quanto tempo leva para que o número de bactérias triplique, ou seja, chegar a $ 3x_0 $.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias, estamos lidando com crescimento exponencial. A equação geral para esse tipo de crescimento é:
N(t) = N0 cdot e^kt
Onde:
  • $ N(t) $ é o número de bactérias no tempo $ t $,
  • $ N_0 $ é o número inicial de bactérias,
  • $ k $ é a constante de crescimento,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Sabemos que após uma hora ($ t = 1 $), o número de bactérias é $ 32x_0 $. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de $ k $.
t = 1
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ x_0 $:
32x0

Passo 4

Para encontrar $ k $, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
k
Calculando o valor:
ln(32) = k

Passo 5

Agora, queremos encontrar o tempo $ T $ necessário para que o número de bactérias triplique, ou seja, $ N(T) = 3x_0 $.
Usamos novamente a equação do crescimento exponencial:
T
Dividindo ambos os lados por $ x_0 $:
N(T) = 3x0

Passo 6

Aplicamos o logaritmo natural para resolver para $ T $:
T
Isolando $ T $:
ln(3) = kT
Substituindo $ k $ pelo valor que encontramos:
T
Calculando:
T = ln(3)k

Passo 7

Agora, como as opções estão em anos, vamos converter as horas para anos. Sabemos que 1 ano tem aproximadamente 8760 horas.
T approx 0,3175 horas times 1 ano8760 horas approx 3,62 times 10^-5 anos
Isso não corresponde a nenhuma das opções fornecidas, o que indica que pode haver um erro nas unidades ou na interpretação do enunciado. No entanto, seguindo os cálculos feitos, a resposta correta não está listada nas opções apresentadas.

Resposta

Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado obtido.

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