Uma cunha é cortada de um sólido com a forma de um cilindro circular reto, o qual tem um raio r=5, por dois planos, um que é perpendicular ao eixo do cilindro. O outro plano intercepta o cilindro com um ângulo theta=pi3 ao longo do diâmetro do cilindro. Ache o volume da cunha.

Passo 1

Vamos resumir o problema e identificar o que precisamos. Temos um cilindro de raio r=5 e eixo vertical. Cortamos uma cunha entre:
  • o plano horizontal de base (digamos z=0),
  • um plano inclinado que contém o diâmetro y=0 do círculo de base e faz ângulo theta=tfracpi3 com o plano horizontal.
Queremos o volume dessa cunha. Para resolver, vamos usar integração: o volume é
V=integral duplaD (a<ura do sólido em cada ponto),dA, ó
onde D é a projeção da cunha no plano z=0.

Passo 2

Orientamos o cilindro no sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) com a base em z=0. O diâmetro y=0 está sobre o eixo x. O plano inclinado contém essa reta y=0,,z=0 e faz ângulo theta com o horizontal, logo sua equação pode ser escrita como
z = x ,tantheta
Note que, para x<0, esse z ficaria negativo (abaixo de z=0), mas nosso sólido está entre z=0 e esse plano, portanto só existe para x>=0. A projeção D no plano z=0 é o semicírculo
D = (x,y)mid x^2 + y^2 <= r^2,; x>=0

Passo 3

Em cada ponto (x,y)in D, a altura do sólido vale
h(x,y) = zrm plano - 0 = x,tantheta
Portanto o volume é
V = integral duplaD x,tantheta ;dA ;=;tantheta ;integral duplaD x,dA

Passo 4

Para calcular integral duplaD x,dA usamos que D é um semicírculo de raio r. A área de D é
AD = pi r^22,
e seu centroide (coordenada x-média) vale
bar x = 4r3pi
Logo
integral duplaD x,dA ;=; AD ,bar x ;=;pi r^22,cdot4r3pi ;=;2r^33

Passo 5

Substituindo em V=tantheta,(2r^3/3) e usando r=5 e theta=tfracpi3, temos
V = 2r^33,tan!l(pi3r) = 2cdot 5^33,tan 60^circ = 2cdot1253,raiz3 = 250raiz33

Resposta

V = 250raiz33

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