Uma cunha é cortada de um sólido com a forma de um cilindro circular reto, o qual tem um raio
, por dois planos, um que é perpendicular ao eixo do cilindro. O outro plano intercepta o cilindro com um ângulo
ao longo do diâmetro do cilindro. Ache o volume da cunha.
Passo 1
Vamos resumir o problema e identificar o que precisamos. Temos um cilindro de raio
e eixo vertical. Cortamos uma cunha entre:
- o plano horizontal de base (digamos
), - um plano inclinado que contém o diâmetro
do círculo de base e faz ângulo com o plano horizontal.
Queremos o volume dessa cunha. Para resolver, vamos usar integração: o volume é
onde
é a projeção da cunha no plano
.
Passo 2
Orientamos o cilindro no sistema de coordenadas cartesianas
com a base em
. O diâmetro
está sobre o eixo
. O plano inclinado contém essa reta
e faz ângulo
com o horizontal, logo sua equação pode ser escrita como
Note que, para
, esse
ficaria negativo (abaixo de
), mas nosso sólido está entre
e esse plano, portanto só existe para
. A projeção
no plano
é o semicírculo
Passo 3
Em cada ponto
, a altura do sólido vale
Portanto o volume é
Passo 4
Para calcular
usamos que
é um semicírculo de raio
. A área de
é
e seu centroide (coordenada
-média) vale
Logo
Passo 5
Substituindo em
e usando
e
, temos