• Deduza a fórmula para o volume de um elipsoide de revolução, rotacionando a região limitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1, para todo (a>b) e pelo eixo x em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um elipsoide de revolução obtido ao girar a região limitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1, com a>b, em torno do eixo x. Vamos usar o método dos discos (ou fatias): cada seção perpendicular ao eixo de rotação é um círculo de raio igual ao valor de y dado pela elipse.

Passo 2

Da equação da elipse isolamos y em função de x:
y = braiz1 - x^2a^2,
que será o raio do disco em cada posição xin[-a,a].

Passo 3

A área de cada disco de espessura dx é
A(x) = pil(y(x)r)^2 = pi b^2l(1 - x^2a^2r)

Passo 4

O volume total é a integral dessas áreas de x=-a até x=a:
V = integral-a^a A(x),dx = pi b^2 integral-a^a l(1 - x^2a^2r),dx

Passo 5

Calculamos a integral em duas partes:
integral-a^a 1,dx = 2a, integral-a^a x^2,dx = 2integral0^a x^2,dx = 2a^33
Portanto,
integral-a^al(1 - x^2a^2r),dx = 2a - 2a^33a^2 = 2a - 2a3 = 4a3

Passo 6

Substituindo de volta em V:
V = pi b^2 cdot 4a3 = 43,pi,a,b^2

Resposta

V = 43,pi,a,b^2

Exercícios relacionados