- Deduza a fórmula para o volume de um elipsoide de revolução, rotacionando a região limitada pela elipse
, para todo
e pelo eixo
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um elipsoide de revolução obtido ao girar a região limitada pela elipse
, com
, em torno do eixo
. Vamos usar o método dos discos (ou fatias): cada seção perpendicular ao eixo de rotação é um círculo de raio igual ao valor de
dado pela elipse.
Passo 2
Da equação da elipse isolamos
em função de
:
que será o raio do disco em cada posição
.
Passo 3
A área de cada disco de espessura
é
Passo 4
O volume total é a integral dessas áreas de
até
:
Passo 5
Calculamos a integral em duas partes:
Portanto,
Passo 6
Substituindo de volta em
: