Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
y=1x, y=0,1 <= x <= 2; ao redor do eixo y.

Passo 1

O enunciado nos dá a região R delimitada pelas curvas y=1x, y=0 e pelas retas verticais x=1 e x=2, e pede o volume do sólido obtido ao rotacionar R em torno do eixo y. Vamos usar o método de cascas cilíndricas, que consiste em cortar a região em fatias verticais e somar o volume das cascas resultantes.

Passo 2

Considere uma fatia vertical em x, de espessura dx. Ao girar essa fatia em torno do eixo y, forma-se uma casca cilíndrica de raio
r(x) = x,
altura
h(x) = 1x - 0 = 1x,
e espessura dx. O volume diferencial dessa casca é
dV = 2pi,r(x),h(x),dx = 2pi,xcdot1x,dx = 2pi,dx

Passo 3

Para obter o volume total, integramos dV de x=1 até x=2:
V = integral1^2 2pi,dx = 2pi integral1^2 dx = 2pi l[xr]1^2 = 2pi(2 - 1) = 2pi

Resposta

V = 2pi

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