Derive as funções abaixo e indique quais regras de derivação utilizou:
f(x)=x \cdot \operatorname{arctg} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\cdot\operatorname{arctg}x
Conteúdo: derivação de produto de funções e derivada da função arco-tangente.

Passo 2

Vamos identificar
g(x)=x \qquad\text{e}\qquad h(x)=\operatorname{arctg}x
e aplicar a regra do produto:
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas das partes:
Para g(x)=x,
g'(x)=1.
Para h(x)=\operatorname{arctg}x, sabemos que
h'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
pela regra de derivação de \operatorname{arctg}x.

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x)
obtemos
f'(x)=1\cdot\operatorname{arctg}x + x\cdot\frac{1}{1+x^{2}}
ou seja
f'(x)=\operatorname{arctg}x+\frac{x}{1+x^{2}}.

Resposta

f'(x)=\operatorname{arctg}x+\frac{x}{1+x^{2}}.
Regras usadas: regra do produto e derivada da função \operatorname{arctg}x.

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