Resistor variável. Na Seção 5,7, mostramos que a carga q no capacitor em um circuito RLC simples é controlada pela equação
L q^*(t)+R q^prime(t)+1C q(t)=E(t)
sendo L a indutância, R a resistência, C a capacitância e E a fonte de tensão. Como a resistência de um resistor aumenta com a temperatura, vamos supor que o resistor seja aquecido de modo que a resistência no instante t seja R(t)=1+t 100. Se L=0,1 H, C=2 F, E(t) equiv 0, q(0)=10 C e q^prime(0)=0 A, encontre pelo menos os quatro primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de t=0 para a carga no capacitor.

Passo 1

O exercício dá a equação diferencial 0,1,q''(t)+(1+t^100),q'(t)+0,5,q(t)=0 com condições iniciais q(0)=10 e q'(0)=0. Vamos resolver por série de potências em torno de t=0.

Passo 2

Assumimos uma série q(t)=sumn=0^infty an t^n. Então
q'(t)=sumn=1^infty n an t^n-1
q''(t)=sumn=2^infty n(n-1)an t^n-2
e R(t)q'(t)=(1+t^100)q'(t)=q'(t)+t^100q'(t), mas o termo t^100q'(t) só contribui a partir de ordens muito altas. As condições iniciais dão a0=10 e a1=0.

Passo 3

Igualamos os coeficientes de t^0 na equação:
0,1cdot(2a2)+(1)cdot a1+0,5,a0=0
Substituindo a1=0 e a0=10 resulta 0,2a2+5=0, logo a2=-25.

Passo 4

Igualamos os coeficientes de t^1:
0,1cdot(6a3)+(1)cdot(2a2)+0,5,a1=0
Substituindo a1=0 e a2=-25 0,6a3-50=0, então a3=250/3.

Passo 5

Igualamos os coeficientes de t^2:
0,1cdot(12a4)+(1)cdot(3a3)+0,5,a2=0
Substituindo a2=-25 e a3=250/3 resulta 1,2a4+250-12,5=0 e, assim, a4=-2375/12.

Passo 6

Com isso, os quatro primeiros termos diferentes de zero da série são dados por a0,a2,a3,a4.

Resposta

q(t)=10-25t^2+2503t^3-237512t^4+cdots

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