Resistor variável. Na Seção 5,7, mostramos que a carga
no capacitor em um circuito RLC simples é controlada pela equação
sendo
a indutância,
a resistência,
a capacitância e
a fonte de tensão. Como a resistência de um resistor aumenta com a temperatura, vamos supor que o resistor seja aquecido de modo que a resistência no instante
seja
. Se
e
, encontre pelo menos os quatro primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de
para a carga no capacitor.
Passo 1
O exercício dá a equação diferencial
com condições iniciais
e
. Vamos resolver por série de potências em torno de
.
Passo 2
Assumimos uma série
. Então
•
•
e , mas o termo
só contribui a partir de ordens muito altas. As condições iniciais dão
e
.
•
•
e
Passo 3
Igualamos os coeficientes de
na equação:
Substituindo
Passo 4
Igualamos os coeficientes de
:
Substituindo
Passo 5
Igualamos os coeficientes de
:
Substituindo
Passo 6
Com isso, os quatro primeiros termos diferentes de zero da série são dados por
.