A curva é dada analiticamente pela equação
, onde
. Mostre como se determina analiticamente o trabalho realizado pelas regras de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela equação
, onde
. O que precisamos fazer é encontrar o trabalho realizado usando regras de integração. Isso envolve conceitos de Cálculo Integral e Física, especificamente no cálculo de trabalho realizado por uma força variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por uma força ao mover um objeto de um ponto
até um ponto
é dado por:
Aqui,
é a força em função de
, e
representa um pequeno deslocamento.
Passo 3
No nosso caso, a força é dada por
. Substituindo isso na fórmula do trabalho, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de
com respeito a
é conhecida. Lembrando que:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando isso na nossa integral, substituímos:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de integração
e
:
Resposta
O trabalho realizado é dado por:
Substituindo
, temos: