Uma partícula alfa está confinada em um núcleo com raio de 1.4 times 10^-15 m. A energia da partícula alfa é de 2 MeV , enquanto a barreira de potencial na superfície do núcleo é de 4 MeV . Sabendo que a massa da partícula alfa é de 6.64 times 10^-27 kg, determine a probabilidade de que ela escape do núcleo, considerando que a partícula precisará atravessar a barreira de potencial.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula alfa presa dentro de um núcleo com um raio de 1.4 times 10^-15 metros. A energia dessa partícula é de 2 MeV, e para escapar do núcleo, ela precisa ultrapassar uma barreira de potencial de 4 MeV. Além disso, sabemos que a massa da partícula alfa é 6.64 times 10^-27 kg. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de essa partícula escapar do núcleo atravesando essa barreira de potencial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o efeito de tunelamento quântico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o conceito de tunelamento quântico. Na mecânica quântica, partículas têm a capacidade de atravessar barreiras de potencial mesmo que não tenham energia suficiente para superar essa barreira de forma clássica. A probabilidade de uma partícula “tunelar” através de uma barreira depende de vários fatores, como a altura e a largura da barreira, além da massa da partícula.

Passo 3

A probabilidade de tunelamento, P, pode ser aproximada pela fórmula:
P approx e^-2gamma
onde gamma é um parâmetro que depende da massa da partícula, da diferença de energia entre a barreira e a partícula, e da largura da barreira.

Passo 4

Vamos calcular gamma. A fórmula para gamma é:
onde:
  • gamma = raiz2m(V0 - E)hbar times L é a massa da partícula ( m kg),
  • 6.64 times 10^-27 é a altura da barreira de potencial (4 MeV),
  • V0 é a energia da partícula (2 MeV),
  • E é a constante de Planck reduzida ( hbar J·s),
  • 1.0545718 times 10^-34 é a largura da barreira.

Passo 5

Primeiro, precisamos converter as energias de MeV para joules, já que as unidades no Sistema Internacional são em joules.
Sabemos que:
1 eV = 1.602 times 10^-19 J
Então:
V0 = 4 MeV = 4 times 10^6 times 1.602 times 10^-19 J = 6.408 times 10^-13 J
E = 2 MeV = 2 times 10^6 times 1.602 times 10^-19 J = 3.204 times 10^-13 J

Passo 6

Agora, vamos determinar a largura da barreira, L. Como a partícula precisa atravessar a barreira além do raio do núcleo, assumimos que L é aproximadamente igual ao raio do núcleo:
L = 1.4 times 10^-15 m

Passo 7

Substituímos os valores na fórmula de gamma:
gamma = raiz2 times 6.64 times 10^-27 kg times (6.408 times 10^-13 J - 3.204 times 10^-13 J)1.0545718 times 10^-34 J·s times 1.4 times 10^-15 m
Primeiro, calculamos V0 - E:
V0 - E = 6.408 times 10^-13 J - 3.204 times 10^-13 J = 3.204 times 10^-13 J
Então:
gamma = raiz2 times 6.64 times 10^-27 times 3.204 times 10^-131.0545718 times 10^-34 times 1.4 times 10^-15

Passo 8

Vamos calcular o valor dentro da raiz quadrada primeiro:
2 times 6.64 times 10^-27 times 3.204 times 10^-131.0545718 times 10^-34 = 4.253 times 10^-391.0545718 times 10^-34 approx 4.037 times 10^-5
Agora, tiramos a raiz quadrada:
raiz4.037 times 10^-5 approx 6.36 times 10^-3
Multiplicamos pelo L:
gamma = 6.36 times 10^-3 times 1.4 times 10^-15 approx 8.90 times 10^-18

Passo 9

Agora, calculamos a probabilidade P:
P approx e^-2 times 8.90 times 10^-18 approx e^-1.78 times 10^-17 approx 1 - 1.78 times 10^-17
Como o expoente é muito pequeno, a probabilidade é praticamente 1.

Resposta

A probabilidade de a partícula alfa escapar do núcleo é aproximadamente 1, ou seja, 100%.

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